Question

找到非递减子序列是众所周知的问题。但是这个问题是发现最长的非递减子序列的一个轻微变体。在这个问题中，我们必须找到包含2个不相交序列的最长子序列的长度 1.非减少2.非增加。例如在字符串“aabcazcczba”中最长的序列是aabczcczba。 aabczcczba由2个不相交的子序列aabcZccZBA组成。（大写字母显示非递增序列）

我的算法是

length = 0
For i = 0 to length of given string S
  let s' = find the longest non-decreasing subsequence starting at position i
  let s" = find the longest non-increasing subsequence from S-s'.
  if (length of s' + length of s") > length
      length = (length of s' + length of s")
enter code here

但我不确定这是否能给出正确答案。你能在这个算法中找到一个错误吗？如果有错误也提示正确的算法。我还需要优化解决方案。我的算法大概需要o（n ^ 4）步。

Answer 1

您的解决方案绝对不正确。例如。 addddbc。最长的非递减序列是adddd，但是这永远不会给你一个不增加的序列。最佳解决方案是abc和dddd（或ab ddddc或ac ddddb）。

一种解决方案是使用动态编程。

F（i，x，a，b）= 1，如果x（x [：i]）的前i个字母存在非递减和非递增的组合，则非递减部分的最后一个字母是a，非增加部分是b。如果相应的子序列为空，则这两个字母都等于NULL。

否则F（i，x，a，b）= 0。

F(i+1,x,x[i+1],b) = 1 if there exists a and b such that 
    a<=x[i+1] or a=NULL and F(i,x,a,b)=1. 0 otherwise.

F(i+1,x,a,x[i+1]) = 1 if there exists a and b such that
    b>=x[i+1] or b=NULL and F(i,x,a,b)=1. 0 otherwise. 

Initialize F(0,x,NULL,NULL)=1 and iterate from i=1..n

如您所见，您可以从F（i，x，a，b）得到F（i + 1，x，a，b）。复杂性：长度为线性，字母表大小为多项式。

Answer 2

我得到了答案，这就是它的工作方式，而不是@ElKamina

维护一个27X27维度的表格。 27 =（1个空字符+ 26个（字母）） table [i] [j]表示子序列的长度，其非递减子序列具有最后一个字符'i'，而非递增子序列具有最后一个字符'j'（第0个索引表示空字符，第k个索引表示字符'k'）< / p>

表示i = 0到字符串S的长度

  //subsequence whose non decreasing subsequence's last character is smaller than S[i], find such a subsequence of maximum length. Now S[i] can be part of this subsequence's non-decreasing part.

  int lim = S[i] - 'a' + 1;
  for(int k=0; k<27; k++){
    if(lim == k) continue;
    int tmax = 0;
    for(int j=0; j<=lim; j++){
      if(table[k][j] > tmax) tmax = table[k][j];
    }
    if(k == 0 && tmax == 0) table[0][lim] = 1;
    else if (tmax != 0) table[k][lim] = tmax + 1;
  }
 //Simillarly for non-increasing subsequence

时间复杂度为o（lengthOf（S）* 27 * 27），空间复杂度为o（27 * 27）

非增长和非减少子序列

2 个答案: