替代方法

Question

我只是想验证一些事情我是否按照下面的步骤做了？

T(n)   = 3T(n/3) + n  : Theta(nlogn)

O(nlogn)

T(k)   = cklog(k)  k<n

T(n/4) = c(n/3)log(n/3)
       = c(n/3)[logn - log3]
       = c(n/3)logn - c(n/3)log3    

T(n)   = cnlogn-cnlog3 + n

       <= cnlogn -cn + n 
       <= cnlogn -dn **[STEP A]**
       <= cnlogn if c >= d

Omega(nlogn)
   >= cnlogn -cn + n 
   >= cnlogn -dn **[STEP A]**
   >= cnlogn if 0 < c <= d  

我在步骤A遇到问题，我最终得到的是我的c系列：

对于上限，

c> = 1 0＆lt; c <= 1，下限为

为什么要合并cn + n有特殊原因。我可以看到它背后的逻辑但是有必要这样做吗？因为那时我可以做任何情况......这有点奇怪......

Answer 1

你还是对的，直到：

T(n) = cnlogn-cnlog3 + n
     >= cnlogn -cn + n

代表Ω(nlogn)

因为它仅适用于c <= 0，这与我们假设c> = 0相矛盾。

修复第二个证明的一种方法可能是：

T(n) = cnlogn - cnlog3 + n
     = cnlogn - n(clog3 - 1)
     <= cnlogn when c >= 1/log3 

因此：T(n) = Ω(nlogn)。

通常，下限和上限的值无关紧要。目标是找到两个常量c1和c2，以便：

c1*n*logn <= T(n) <= c2*n*logn forall n >= some n0。