Question

基本上，标题说明了一切。数字不是太大（N的最大值是~2 / 3 * max（长），最大M是max（长）），所以我认为即使是一个简单的解决方案，我现在已经足够了。 M总是大于N.

我现在有什么：

最简单，只需从N + 1开始，执行简单的欧几里德GCD，如果返回1，我们就完成了，如果没有增加，请再试一次。

我想知道这个解决方案的最坏情况是什么。性能不是一个大问题，但我仍然觉得必须有更好的方法。

感谢。

关于最糟糕的情况，我做了一个小测试：

Random r = new Random();
while (true)
            {
                long num = (long) r.Next();
                num *= r.Next();
                f((long)(num * 0.61), num);
            }

...

public static int max;

        public static int f(long N, long M)
        {
            int iter = 0;
            while (GCD(N++, M) != 1)
            {
                iter++;
            }

            if (iter > max)
            {
                max = iter;
                Console.WriteLine(max);
            }

            return 0;
        }

运行约30分钟，目前最糟糕的情况是29次迭代。所以我相信O（N）有更准确的答案。

Answer 1

我不知道最糟糕的情况，但使用的事实是M＆lt; 2 ⁶⁴，我可以通过292次迭代将其限制在上面，然后将其限制为53次（取消N / M比率近似固定的限制）。

设p ₁，...，p _k是大于或等于5的素数，M可以被整除。令N'≥N是最小整数，使得N'= 1 mod 6或N'= 5 mod 6.对于每个i = 1，...，k，素数p _i最多除以ceil （49 / p _i）整数N'，N'+ 6，N'+ 12，...，N'+ 288.Σ_{i = 1的上限，...， k} ceil（49 / p _i）是Σ_{i = 3，...，16} ceil（49 / q _i）= 48，其中q是以q ₁ = 2开始的顺序的素数。（这是因为Π_{i = 3，...，17}≥2⁶⁴暗示M是除2和3之外最多14个不同素数的乘积。）我们得出结论，所提到的至少一个整数对M来说是相对素数。

对于下界，设M = 614889782588491410（前十五个素数的乘积）并且让N = 1.在1之后，对前十五个素数相对素数的第一个整数是第十六个素数，53。

我希望在没有太多工作的情况下可以改善两个界限，尽管我不清楚目的是什么。对于上限，分别处理2和3都是M的除数的情况，因为M可以是最多 13 其他素数的乘积。对于下限，人们可以尝试通过运行Eratosthenes筛来找到一个好的M，以计算一系列整数，这些整数除以这些整数。然后在整个范围内扫过一个窗口;如果窗口中不同质数的乘积太大，则推进窗口的尾端;否则，提前领先。

Answer 2

当然不是O（n），通过知道素数间隙是log _e n，我们可以简单地说你的算法最多只能记录_e n次迭代，（因为在通过最多log _e n数字之后你会看到新的素数，这是对你的给定数字n的最重要的尊重），关于这个差距的更多细节，你可以看到{{3} }。

因此，对于你的有界情况，它小于log _e n = log _e 2 ⁶⁴＆lt; = 44并且它会更小比44次迭代。

找到大于N的第一个数字，它是M的相对素数

2 个答案: