浮点数密度 - 数量的大小

Question

浮点数越大（正数或负数），我们对编码十进制数字的位越少，这是真的吗？

我们可以在2 ¹ 和2 ² 之间编码更多的十进制数字，而不是2 ¹⁶ 和2 ³² 之间？

这两个范围之间的值是否相同？

Answer 1

IEEE 754，二进制32号指定如下：

基本上它有三个部分：

• 代表符号的1位float32_sign
• 23位float32_fraction[]表示二元分数系数
• 8位float32_exp重新表示整数指数为2

有关详细信息，请参阅wikipedia/Single-precision_floating-point_format。

获取实际数字的公式为：

忘记指数，小数部分可以准确地表示pow(2, 23) = 8388608值。此范围内的最大值和最小值为：

    ( 1 + 0, 1 + sum(pow(2, -i)) )  # All co-efficients being 0 and 1 resp. in the above formula
=>  ( 1, 2 - pow(2, -23) )          # By geometric progression
~>  ( 1, 2 )                        # Approximation by upper-bound

因此，如果指数为1（float32_exp = 128），我们将在(1,2)和(-1,-2)之间有8388608个数字。

但是对于大数字，例如当指数为126（float32_exp = 253）时，我们仍然只有8388608个数字来表示(2^126), 2^127)和(-2^126, -2^127)之间的差距。

1到128之间的分布图如下所示：

图形在0处非常陡峭，绘制它会使它看起来像只有0的单个值。请注意衰变是指数级的。

获取两个值之间的浮点数的公式为：

def num_floats(begin, end):
    # pow(2, 23) * (log(end, 2) - log(start, 2)) == pow(2, 23) * log(end/start, 2)
    return 8388608 * math.log(float(end)/float(begin), 2)

Answer 2

是的，随着数字变大，浮点数可以精确表示的数字密度会变小。

换句话说，浮点数只有尾数的固定位数，随着数字变大，这些manitssa数字将在小数点后面更少（这是什么我想你在问。）

替代方案是定点数字，其中小数点后的位数是常数。但是没有多少系统使用固定点数，所以如果这就是你想要的，你必须自己动手，或者使用第三方库。

Answer 3

来自What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic：

  

通常，浮点数将表示为±d.dd ... d   ×e，其中d.dd ... d称为有效数，有p位数。更多   恰好是±d0。 d1 d2 ... dp-1×e代表数字。

因此，答案是肯定的，因为尾数（有效数字的旧词）具有固定的位数。

Answer 4

浮点数是尾数和指数的二进制表示。对于IEEE 754 short real，最流行的32位表示，有一个符号位，尾数为23 + 1位，指数范围为-126到+127，功率为2。

所以，要解决你的观点：

1. 对数字进行编码的位数是常量。 32位浮点数约为7位小数，64位浮点数约为16位。

2. 见1.

3. 是的。