Question

布尔值 true/false 的定义及其与命题类型 True/False 的链接在 Coq.Bool.Bool 中描述：

Inductive bool : Set := true : bool | false : bool

Definition Is_true (b:bool) :=
  match b with
    | true => True
    | false => False
  end.

说到 bool 类型，我或多或少了解它们的用途和功能，但 Prop 类型并非如此。 This question 很好地说明了我的困惑。如此处所述，以下定义无效：

<块引用>

Definition inv (a: Prop): Prop :=
match a with
| False => True
| True => False
end.

结果为“Pattern "True" is redundant in this clause.”。另一方面，bool 类型的相同定义编译良好：

Definition inv (a: bool): bool :=
  match a with
  | false => true
  | true => false
  end.

Ptival's answer 很好地解释了为什么在模式匹配意义上会发生这种情况："False 不是数据构造函数 [...]"。事实上，通过检查 True 和 False 就很清楚了：

Print True.
Print False.

Inductive True : Prop :=  I : True
Inductive False : Prop :=

然而，在这种情况下，我的问题变成了：为什么？如果它们与 true/false 不同，那么它们是什么？具体：

从命题 true 和 false 创建布尔值 True 和 False 而不是将它们合并为一个原始构造的目的是什么？
如果 Prop 版本 True/False 与 bool 版本 true/false 的含义不同，那么它们实际上是什么意思，与它们的布尔变量相比，它们应该代表什么？

Answer 1

让我回答您提出的不同问题。首先，在模式匹配中

Definition inv (a: Prop): Prop :=
  match a with
  | False => True
  | True => False
  end.

Coq 告诉你它是多余的，因为它将 False 和 True 解释为将被绑定的变量。实际上 True 和 False 无法匹配，因此它假定您打算将变量命名为 True 或 False。这段代码相当于

Definition inv (a: Prop): Prop :=
  match a with
  | x => True
  | y => False
  end.

然后你就会明白为什么 y 是多余的：你说匹配任何值到 True 和任何值到 False。

我认为您最大的困惑是认为 True 和 False 应该以某种方式与 true 和 false 具有相同的含义。简短的回答是：除了名字之外，根本没有任何关系。

实际上，True 和 False 比 bool 和 true 更接近于 false：它们是（数据）类型。 True 是只包含一个元素的类型，False 是空类型，没有居民。

Inductive True : Prop :=
| I : True.

Inductive False : Prop :=.

（诚然，False 的定义可能有点奇怪，但它确实表示它是一种没有构造函数的类型。）

相比之下，bool 是具有两个元素的类型：true 和 false。因此，您可以拥有 h : True，它是 True 的证明，但不是 x : true，因为 true 不是类型，而是一段数据。

可以观察数据（模式匹配），但不能观察数据类型。

我真的想坚持true和false不是True和False的变体。 true 和 false 只是一点点，除了你如何使用它们之外没有任何意义。另一方面，True 和 False 具有非常精确的含义。 True 是总是可证明的微不足道的命题，而 False 是永远不可证明的命题，有 h : False 表示矛盾。

False 的消除原理展示了如何使用它：

False_rect : ∀ P : Type, False → P

它说你可以从False的证明中推导出任何东西。

Coq中命题真/假和布尔值真/假的区别

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