指向矩形

Question

查找点是否为以此格式提供的矩形 的最快方法是什么：
我有两个点是矩形的对边的中心，以及这些边的高度的数字。我希望这很清楚 矩形（可能）不与轴对齐。我想知道是否有一个更快的算法给定这个数据，然后计算四个角，旋转等

我虽然但我不确定如何实现（数学上有问题）的想法是找到从点到两个中心之间描绘的线的距离，如果它小于那个长度的一半。矩形的一边和行上的 然后它在矩形中。我不知道如何更好地解释这一点。

也许图片有助于解释：
给出A，B，C以及A / B侧的长度。基本上我认为如果CD小于A侧和D侧的一半，则该点位于矩形中。但是我该怎么做呢？ 另一个想法：而不是找到D以查看它是否在AB上，检查角度ABC和BAC是否是锐角，但我仍然不知道如何做到这一点。

Answer 1

以下方法非常简单，但需要找到1个向量长度（您可以将其缓存以进行多次检查）

1. Calc矢量 AB = B - A

2. 计算 AB长度 - 它将是矩形的宽度

3. 如果 AB_length＆lt;容差（公差是一个很小的值，例如，TOLERANCE = 0.00000001）然后矩形的宽度为零，因此该点不能位于矩形

4. 规范化AB： AB_normalized = AB / AB_length

5. 计算轴投影

   Calc AB投影：

   AB_proj =点积（AB_normalized，C - A）

   Calc AB正交投影（在图片中用“CD”表示）：

   AB_orthogonal =（ - AB.y，AB.x）

   AB_orthogonal_proj =点积（AB_orthogonal，C - A）

6. 如果（0 <= AB_proj＆lt; = AB_length）和（ABS（AB_orthogonal_proj）＆lt; = AB_height / 2），则该点位于矩形中，不是否则

Answer 2

对于像这样的问题，dot product是您值得信赖的朋友。那个和一些毕达哥拉斯应该给你回答两个问题所需的一切：

1. AC在AB上投影到AB？
2. 是| DC | ＆LT;高度/ 2

以平方距离工作而不是平方根，不要费心计算角度。

Answer 3

不完全确定它是最快的，但这可能会奏效：

不是将D半部放在两个中心之间，而是沿着AB轴将C投影为D.然后检查a）D在A和B之间，b）CD小于或等于矩形高度的一半。

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重新使用角度的想法...使用Pythagorus和Al Kashi的定理可能实际上是有道理的：

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines

ABC急性和BAC急性都是先决条件，并且给它们将C2放在矩形上，具有相同的alpha / beta（参见维基页面）。从那里你也知道伽玛（pi / 2，因为在矩形上）和beta / alpha（pi / 2 - beta），这导致想知道[A,C]或[B,C]距离是小于还是相等分别为[A,C2]或[B,C2]。

Answer 4

锐角三角形ABC的想法不起作用。例如。点C直接在AB行之外，C处的角度几乎为180°。另一方面，如果矩形的高度相当小但B位于矩形之外，则C处的角度可能非常小。

然而，你的另一种方法是实现这一目标的一种基本方法。

点D位于A和B的某个位置，因此

D = A + t * (B-A)

（大写字母代表空格中的向量，小写字母代表数字）。同时，从D到C的连接垂直于连接A到B，因此

(C-D) . (B-A) == 0

即。两个差矢量的点积为零。将两者放在一起产生

(C-A-t*(B-A)) . (B-A) = (C-A) . (B-A) - t * (B-A) . (B-A) == 0

或解决t：

t = (C-A).(B-A) / (B-A).(B-A)

（或换句话说，向量AC投影到行AB上的相对长度）。

如果D，点0 <= t <= 1位于矩形内，因此这是您的第一个条件。

然后你可以计算C到D的距离（只需将t插入第一个eqn以获得D）并将其与{{1}进行比较}，即最后一个条件是

h/2

Answer 5

正方形是4个半空间的交点。每个半空间使用两点线公式从矩形的一侧导出。根据您的问题的具体情况，也许您可​​以并排检查，可能在每一步都可以轻易拒绝。

这比投影更快吗？我想这取决于你在第一步之后琐碎拒绝的概率！