如何将python中的crank-nicolson方法应用于诸如schrodinger的波动方程

Question

我正在尝试在没有势场的盒子模拟中创建粒子。花了我一些时间来发现简单的显式和隐式方法破坏了单一时间的演化，因此我求助于应该是单一的crank-nicolson。但是当我尝试它时，我发现事实并非如此。我不确定我缺少什么。我使用的公式是这样：

其中T是二阶导数wrt x和

的三对角Toeplitz矩阵

系统简化为

A和B矩阵为：

我只是使用稀疏模块来求解的线性系统。数学是有道理的，我在一些论文中发现了相同的数字格式，因此使我相信我的代码就是问题所在。

到目前为止，这是我的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.linalg import toeplitz
from scipy.sparse.linalg import spsolve
from scipy import sparse

# Spatial discretisation
N = 100
x = np.linspace(0, 1, N)
dx = x[1] - x[0]


# Time discretisation
K = 10000
t = np.linspace(0, 10, K)
dt = t[1] - t[0]

alpha = (1j * dt) / (2 * (dx ** 2))

A = sparse.csc_matrix(toeplitz([1 + 2 * alpha, -alpha, *np.zeros(N-4)]), dtype=np.cfloat)  # 2 less for both boundaries
B = sparse.csc_matrix(toeplitz([1 - 2 * alpha, alpha, *np.zeros(N-4)]), dtype=np.cfloat)

# Initial and boundary conditions (localized gaussian)
psi = np.exp((1j * 50 * x) - (200 * (x - .5) ** 2)) 
b = B.dot(psi[1:-1])
psi[0], psi[-1] = 0, 0

for index, step in enumerate(t):
    # Within the domain
    psi[1:-1] = spsolve(A, b)

    # Enforce boundaries
    # psi[0], psi[N - 1] = 0, 0

    b = B.dot(psi[1:-1])
    # Square integration to show if it's unitary
    print(np.trapz(np.abs(psi) ** 2, dx))

Answer 1

您依靠Toeplitz构造函数生成对称矩阵，因此对角线以下的条目与对角线上方的条目相同。但是，scipy.linalg.toeplitz(c, r=None)的文档不是“转置” ，而是

  

*“如果未给出r，则假定r == conjugate（c）。”

，以便得到的矩阵是自伴随的。在这种情况下，这意味着对角线上方的条目的符号已切换。

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先构造一个密集矩阵然后提取一个稀疏表示是没有意义的。从一开始就使用scipy.sparse.diags

将其构造为稀疏三对角矩阵

A = sparse.diags([ (N-3)*[-alpha], (N-2)*[1+2*alpha], (N-3)*[-alpha]], [-1,0,1], format="csc");
B = sparse.diags([ (N-3)*[ alpha], (N-2)*[1-2*alpha], (N-3)*[ alpha]], [-1,0,1], format="csc");