Question

这是我有的一个示例问题：

Madhav参加了Riya的生日聚会。他是一个极客，所以他不知道她想要哪种礼物。因此，他随身携带了一个整数数组。数组遵循特定顺序。数组的第一个元素是1。数组的第二个元素是6。数组的其他元素比其前后数的平均值小两个。很明显，Riya觉得这个想法很愚蠢，因此她想惩罚Madhav。她决定问Madhav数组的第n个数字。如果他说错了答案，她会打他一巴掌。帮助Madhav摆脱这种尴尬局面。

输入：第一行包含T，测试用例的数量，而第二行T包含N，即要找到的上述数组的第N个元素。

输出：

对于每个测试用例，输出一个整数，该整数是数组的第N个数字。由于答案可能非常大，因此以109 + 7模为输出

约束：

1≤T≤105 1≤N≤1018

样品输入

2

1

3

样品输出

1

15

说明第一个测试用例对于[1] = 1来说是微不足道的。在第二个测试用例中，a [2] =（a [1] + a [3]）/ 2-2。替换[1]和a [2]的值，我们得到：6 =（1 + a [2]）/ 2-2。因此，a [2] = 8 * 2-1 = 15

上述问题需要在恒定的时间和空间内解决。如何从前两个固定数（此处为1，6）中找到建立解决方案所需的n个线性方程式？

Answer 1

等式对应于

df['hour'] = df.time.dt.hour
df.groupby(by=["hour"]).your_column.mean()

这可以改写为

a[n] = (a[n-1] + a[n+1])/2 - 2

表达a[n+1] = 2(a[n]+2) - a[n-1]并计算a[n] = a[n-1] + b[n]的第一个值：

b[n]

很容易看到b[1] = 1; b[2] = 5; b[3] = 9; b[4] = 13; b[5] = 17; etc.

可以通过归纳法检查该通式。然后，随之而来

b[n] = 4(n-1) + 1

然后

a[n] = a[n-1] + 4(n-1) + 1

最后，使用

a[n] = 4(n-1) + 1  
     + 4(n-2) + 1  
     + 4(n-3) + 1  
     + ...  
     + 1

我们可以得出结论

sum_(i=0)^(n-1) (i) = n(n-1)/2

编程时，请注意溢出！

如何在恒定时间内找到相关线性方程的解？

1 个答案: