检查整数是否可以表示为数组中整数的线性组合

Question

我正在尝试解决一个给定整数n和整数a的数组的问题-n可以表示为{{ 1}}，这样系数也是正个整数。

我看到了C: check if an integer is linear combination of elements in an array并在C语言中实现了它，但并非在所有情况下都有效。

a

但是，如果int gcd(int a, int b) { if (a == 0) { return b; } return gcd(b % a, a); } bool can_be_changed(const int a[], int len, int val) { for (int i = 0; i < len - 1; i++) { for (int j = i + 1; j < len; j++) { if (val % gcd(a[i], a[j]) == 0) { return true; } } } return false; } 和a = {4,5,6}的代码将返回true，原因是val=7，而gcd(4,5) = 1的结果将为7 % gcd(4,5) == 0，因此返回true不应该。

感谢您的帮助，谢谢！

Answer 1

TL; DR：easiest algorithm is here，最有效的算法如下所述。

当您将系数限制为正整数时，此问题是NP完全的（只要len是输入的一部分并且没有固定）。因此，真正有效的解决方案将不会发生。 （如果您想四处搜寻，则称为无界子集总和问题； a proof of its hardness is here。）

The most efficient algorithm I've found is from this paper：

⊕ _t 操作是一个“封顶汇总集”，也在论文中进行了描述：它基本上是这样运行的（用Python绘制）：

def capped_sumset(a, b, t): # a, b sets of naturals, t natural
    a0 = a | {0}
    b0 = b | {0}
    return {
        x+y
            for x in a0
            for y in b0
        if x+y <= t
    }

在C中实现此功能最困难的部分是所有设置的操作。一旦您能够很好地实现整数集，算法本身就不会太糟糕。

当然，如果您不关心效率，则可以使用算法基本情况中提到的“经典动态程序”； you can find a detailed explanation with examples in several programming languages here。但是要为指数运行时间做好准备！