Question

我想找到（num *（pow（b，p）-1）/ den）％mod。我知道二进制求幂。但是我们不能直接做到这一点。保证分子可被分母整除。这意味着

[num *（pow（b，p）-1）]％den == 0

对mod的约束是1 <= mod <= 10 ^ 9，并且mod可能是素数或复合

对b的约束：1 <= b <= 10

对p的约束：1 <= p <=（10 ^ 18）

限制num：1 <= num <=（10 ^ 9）

对den的约束：1 <= den <=（10 ^ 9）

这里pow（b，p）表示b升为幂p（b ^ p）。保证分子可被分母整除。我该如何使用二进制幂运算

Answer 1

您的表达式应重写为简化形式。首先让k = num / den，根据您的问题为k整数。

所以您必须计算
（k×（b ^ p-1））mod m =（（k mod m）×（（b ^ p -1）mod m））mod m
=（（k mod m）×（（b ^ p mod m）-1 mod m）mod m）mod m
=（（（k mod m）×（（b ^ p mod m）+ m-1）mod m）mod m（1）

所以真正的问题是计算b ^ p mod m

许多语言（python，java等）在其标准库中已经具有模块化指数。请查阅文档并使用它。否则，这是一个C实现。

unsigned long long modexp(unsigned long long b, unsigned long long e, unsigned long long m) {
  if (m==1) return 0;
  unsigned long long res=1;
  unsigned long long bb = b % m;
  while (e) {
    if (e & 1) 
      res = (res*b) % m;
    e >>= 1;
    bb = (bb*bb) % m;
  }
  return res;
}

该实现使用long long来满足您的约束。它依赖于二进制求幂的经典技巧。计算所有b ^ l的值，其中l是2的幂（l = 2 ^ t）并将其存储在var bb中，如果e的对应的t ^th位置1，则该值b ^ l被集成到结果中。通过检查e的连续奇偶校验来完成位测试，同时在每一步向右移动e。

最后，（a×b）mod m =（（a mod m）×（b mod m））mod m的事实用于避免对非常大的数进行计算。我们总是有res

然后，您只需应用（1）即可获得最终结果。

根据注释中给出的精度进行编辑
要计算n =（3 ^ p-1）/ 2 mod m，可以指出
（3 ^ p-1）/ 2 = x * m + n（因为3 ^ p-1是偶数，x是整数，0≤n 3 ^ p-1 = x * 2 * m + 2n（0≤2n<2m）
所以2n =（3 ^ p-1）mod 2m

我们可以仅以2 * m的模数应用前面的方法，然后将结果（将是偶数）除以2。

查找（num *（pow（b，p）-1）/ den）％mod其中p非常大（10 ^ 18）

1 个答案: