Question

如何在MATLAB中求解线性系统(A ⊗ B + C ⊗ D) x = b，而无需计算与x相乘的实际矩阵（⊗表示kronecker积）。即使A，B，C和D是sparse矩阵，但幼稚的方法

x = (kron(A,B) + kron(C,D))\b

不适合内存使用，导致大型矩阵（每个矩阵〜1000 x 1000个元素）崩溃。

对此可以做什么？

Answer 1

看到矩阵通常都比较稀疏，张量积的最终结果不应占用太多内存。这是由于中间计算的巨大内存需求而根本无法完成向量化的情况之一，但是使用循环（和部分向量化）可能才有可能。

请注意，这是一种解决方案“ 总比没有好，但不多”。

我将使用ndSparse submission，因为它使处理稀疏矩阵更容易。

% Create some matrices
[A,B] = deal(sparse(1000,1000));
A(randperm(1000^2, 10000)) = randn(1E4, 1);
B(randperm(1000^2, 10000)) = randn(1E4, 1);
A = ndSparse(A); B = ndSparse(B);

% Kronecker tensor product, copied from kron.m
[ma,na] = size(A);
[mb,nb] = size(B);
A = reshape(A,[1 ma 1 na]);
B = reshape(B,[mb 1 nb 1]);
% K = reshape(A.*B,[ma*mb na*nb]);                    % This fails, too much memory.
K = ndSparse(sparse(mb*ma*nb*na,1),[mb, ma, nb, na]); % This works

从这里可以根据可用内存进行操作：

% If there's plenty of memory (2D x 1D -> 3D):
for ind1 = 1:mb
  K(ind1,:,:,:) = bsxfun(@times, A, B(ind1, :, :, :));
end

% If there's less memory (1D x 1D -> 2D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    K(ind1,ind2,:,:) = bsxfun(@times, A(:, ind2, :, :), B(ind1, :, :, :));
  end
end

% If there's even less memory (1D x 0D -> 1D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    for ind3 = 1:nb
      K(ind1,ind2,ind3,:) = bsxfun(@times, A(:, ind2, :, :), B(ind1, :, ind3, :));
    end
  end
end

% If there's absolutely no memory (0D x 0D  -> 0D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    for ind3 = 1:nb
      for ind4 = 1:na
        K(ind1,ind2,ind3,ind4) = A(:, ind2, :, ind4) .* B(ind1, :, ind3, :);
      end
    end
  end
end

K = sparse(reshape(K,[ma*mb na*nb])); % Final touch

因此，这只是如何最终完成计算的理论演示，但不幸的是，它效率很低，因为它必须一遍又一遍地调用类方法，而且不能保证就会有足够的内存来评估\运算符。

改善此问题的一种可能方法是以某种块方式调用matlab.internal.sparse.kronSparse并将中间结果存储在输出数组的正确位置，但这需要仔细考虑。

顺便说一句，我尝试使用Ander提到的FEX提交（KronProd），但是当您需要计算kron(A,B) + kron(C,D)时它没有任何好处（尽管在kron(A,B)\b情况下这是惊人的）。 / p>

解决庞大的稀疏线性系统，其中A是克朗乘积的结果

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