1）假设我们有一个常见的0-1背包问题。给定一组从1到n的n个项，每个项的权重为w_i，值为v_i，最大权重为W。在这里，我们需要选择一些对象，以使v_i的总和最大化，从而所选对象的w_i之和不会超过给定的W数。
maximize∑(v_i*x_i), such that ∑(w_i*x_i)≤ W
2）现在假设我们有同样的问题，但是我们需要选择对象，以使它们的值之和最小，并且其权重之和不能小于给定的数字。
minimize∑(v_i*x_i), such that ∑(w_i*x_i)≥ W.
知道第一个问题是NP完全的，我如何证明第二个问题具有相同的复杂性，换句话说NP也是完整的？
答案 0 :(得分：1)
知道第一个问题是NP完全的，我如何证明第二个问题具有相同的复杂性，换句话说NP也是完整的？
如果要证明问题B是NP完全的，则必须证明存在从A到B的多项式时间缩减，其中A被认为是NP完全问题。
从问题A到问题B的多项式时间约简是一种算法，它使用对问题A的子例程的多项式调用来解决问题B，并且这些子例程调用之外的多项式时间。（source）。
因此，在您的情况下，您可以轻松地将多项式时间从背包问题简化为逆背包问题。
这两个问题是等效的（找到一个最佳解决方案可以立即解决另一个问题）。
假设S是对象集合，M是S对象的权重之和，和W的背包容量。
然后，我们有：
(i)找到对象的子集，以使它们的权重之和不超过W并且其值之和最大等效于
(ii)查找对象的子集，以使它们的权重之和至少为M-W，并且其值之和最小。 这是因为，如果S'是(i)的最优解，那么S\S'是(ii)的最优解（反之亦然）。
这是多项式时间减少（O(1)调用子例程，多项式运算次数），因此反向背包的确是NP完全的。
答案 1 :(得分：0)
关键思想似乎是交换价值和权重，并对第二个问题使用二元搜索来构造减法。
给出第一个公式的实例I的值v_i和权重w_i，通过交换利润和权重来构造第二个问题的实例。所有权重之和（现在是利润）由
n * w_max
其中w_max是最大重量。这个数字本身在输入的编码长度中是指数的。但是，我们可以使用二进制搜索来确定最大可实现利润，从而不超过初始容量W。这可以在
log( n * w_max )
iterations，一个对输入的编码大小进行多项式限定的数字，使用相同数量的第二个问题的算法调用。所描述的算法是从第一个问题到第二个问题的多项式预测。
答案 2 :(得分：-2)
反背包是我的最爱之一。尽管我从未明确证明它是NP完整的，但我确实知道如何将问题重新构造为背包问题本身，这应该可以解决问题：
不要将对象添加到空袋子中，而是要考虑从装满的袋子中选择要去除的对象的问题。然后，由于权重的数量不能小于给定的数量，因此必须仅除去对象的总数（权重-最小重量）。
由于要最小化价格，因此必须将要移除的对象的价格最大化。
我们剩下的是最初的背包问题，我们必须选择一组物品（待移除），以使它们的价格最大化，并且其总重量不超过最小重量。 （最后，我们将未删除的项目作为解决方案）
我们已经将问题重整为原始的背包问题，因此它也必须是NP完全的。
这种方法的优点是我个人不知道什么NP可以完成它。我刚刚证明反向背包和背包是完全等效的。