我正在尝试对ODE建模:
我实现了:
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
m = 1
k = 1
M = 0.1
b = 1
Fmax = 1
def dXdt(X,t):
return [X[1], - b * X[1] / m - k * X[0] / m - M * np.sign(X[1]) / m + Fmax / m ]
X0 = [1, 2]
ts = np.linspace(0, 10, 200)
Xs = odeint(dXdt, X0, ts)
plt.plot(ts, Xs[:, 0])
结果:
这与我从Modelica(OpenModelica)获得的内容相矛盾:
model model1
//constants
parameter Real m = 1;
parameter Real k = 1;
parameter Real b = 1;
parameter Real M = 0.1;
parameter Real Fmax = 1;
//variables
Real x, v, a;
initial equation
x = 1;
v = 2;
equation
v = der(x);
a = der(v);
m * a + b * v + k * x + M * sign(v) = Fmax;
end model1;
如果您能帮助我知道我的错误在哪里以及如何解决,我将不胜感激。
答案 0 :(得分:1)
根据x'
的符号,您的系统具有3个平滑子系统或阶段。只要积分停留在这些平稳阶段内,步长控制器就会按预期工作。但是,在相位变化的时刻,步长控制器会看到巨大的变化和其用于调整步长的数量的波动,从而需要减小步长。
接下来是odeint
,lsode
中的方法是隐式的,并且隐式方法的假设是等式的右边再次足够微分,至少一次。隐式求解器无法到达任何地方,您可以在峰值中观察到。
一种解决方案是,通过使每个阶段都超出其边界来消除不连续性,并使用ODE求解器的事件机制来找到跨越边界的点。为此,引入符号/相位选择器参数S
并求解系统
m*x''+b*x'+k*x+M*s = F
使用函数e(t)=x'(t)
作为事件函数。
# Define differential equation
m,b,k,M,F = 1., 1., 1., 0.1, 1.
def fun(t, x, S):
dx = [x[1], (F-b*x[1]-k*x[0]-M*S)/m]
return np.asarray(dx)
# Define event function and make it a terminal event
def event(t, x):
return x[1]
event.terminal = True
t = 0
x = [1.,2.];
S = np.sign(u[1]);
tend = 10
由于我们需要在事件位置更改相位选择器,因此事件的方式必须为terminal
。然后循环遍历各个阶段,并将它们组合成一个整体解决方案,就像chthonicdaemon对问题“ How to use if statement in a differential equation (SciPy)?”的回答一样。
要获得确定的行为,请确保在每个事件中都跨越每个事件的相位边界(如果加速度非零(并且几乎总是非零))。
ts = []
xs = []
eps=1e-8
for _ in range(50):
sol = solve_ivp(lambda t,u:fun(t,u,S), (t, tend), x, events=event, atol=1e-12, rtol=1e-8, max_step=0.01);
ts.append(sol.t)
xs.append(sol.y)
if sol.status == 1: # Event was hit
# New start time for integration
t = sol.t[-1]
# Reset initial state
x = sol.y[:, -1].copy()
# ensure the crossing of the phase boundary
dx = fun(t,x,S)
dt = -(eps*S+x[1])/dx[1]; # should be minimal
if dt > 0: t += dt; x += dt*dx;
# new phase parameter
S = np.sign(x[1]);
# stop the iteration if it stalls
if t-sol.t[0] <5e-12: break
else:
break
# We have to stitch together the separate simulation results for plotting
t=np.concatenate(ts);
x=np.concatenate(xs, axis=1);
然后绘制解决方案,例如如下所示。集成停滞在t=4.7880468
和x=0.9453532
之间。在x'=0
上的这一点附近,x''=-0.0453532
的加速度为x'
,x''=0.15464678
的加速度为x'
,轻微负x''=0.05464678
和x'=0
}。没有平衡的立场,也没有及时前进的方法。由于强制穿过边界,因此在数值计算中动力学可以及时进行,但是eps
的大小越小,该振荡的幅度越小,因此波长也越小。如果振荡波长太小,积分环路中的最后一个条件将结束积分(eps
要小得多)。