证明一个条件表达式是否等于另一个条件表达式

Question

如何证明以下两个表达式相同？

(A && C) || (B && C)

(A || B) && C

Answer 1

证明(A && C) || (B && C) ≡ (A || B) && C是一个简单的证明。

让我们从等式的右边开始，然后到左边。

通过逻辑分布定律，可以证明对于所有命题P，Q和R，P && (Q || R) ≡ (P && Q) || (P && R)。
通过逻辑可换律，可以证明对于所有命题P和Q，P && Q ≡ Q && P

使用它，我们可以证明上面的陈述是等效的。
(A || B) && C ≡ C && (A || B)（通过交换律）
C && (A || B) ≡ (C && A) || (C && B)（通过分配法）
(C && A) || (C && B) ≡ (A && C) || (B && C)（通过交换律）
因此，我们有(A && C) || (B && C) ≡ (A || B) && C

Answer 2

(A && C) || (B && C) ≡ (A || B) && C是一个简单的证据。

让我们从所有可能排列的列表开始，然后进行测试。

const permutations = [
  [false, false, false],
  [false, false, true],
  [false, true, false],
  [false, true, true],
  [true, false, false],
  [true, false, true],
  [true, true, false],
  [true, true, true],
];

permutations.forEach(permutation => {
  const [A, B, C] = permutation;
  console.log(((A && C) || (B && C)) === ((A || B) && C));
});