有没有一种方法可以简化以下术语：
sum（binom（m，i）* binom（n，i）*阶乘（i），i = 1..min（n，m））
其中binom是二项式系数。
谢谢！
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由于这是stackoverflow，而不是math.stackexchange，因此仅合理地假设您计划实际实现一个程序来计算此总和。考虑到这一点，我将做一些通常在纯数学/假设环境下通常不会做的“简化”。
首先，要知道
binom(n, i) => factorial(n) / (factorial(i) * factorial(n - i))
将其加入您的等式中，我们可以抵消两个factorial(i)项。
factorial(n) * factorial(m) / ((factorial(i) * factorial(n - i) * factorial(m - i))
现在，如果我们创建一个函数product(a, b)，该函数采用所有数字[a, b]的乘积，我们可以将这些阶乘分解为可抵消的范围。为了使以下代码段更简洁，我将阶乘缩写为fac，将乘积缩写为prod。
fac(n)*fac(m) / (fac(i) * fac(n-i) * fac(m-i))
=> prod(m+1, n) * fac(m)**2 / (fac(i) * fac(n-i) * fac(m-i))
=> prod(m+1, n) * fac(m)**2 / (fac(i) * prod(m-i+1,n-i) * fac(m-i)**2)
=> prod(m+1, n) * prod(m-i+1,m)**2 / (fac(i) * prod(m-i+1,n-i))
=> prod(m+1, n) * prod(m-i+1,m) / (fac(i) * prod(m+1,n-i))
=> prod(n-i+1, n) * prod(m-i+1,m) / fac(i)
所以最后，我们有
product(n-i+1, n) * product(m-i+1,m) / factorial(i)
-需要很少的乘法运算。当然，现在，理想的计算方法不是评估我上面描述的函数，中间值仍然会很大。
第一种选择是开始将每个product()中的值相乘，并尝试从factorial()中除以较小的因子。但是，这可能会很耗时，因为与实际减少数量相比，检查可分割性将浪费更多的时间。
另一种选择是构造三个集合，代表每个函数调用中要相乘的数字。然后将product集之一与factorial集的交集，并从每个原始集中减去这些元素。然后，使用其他product集和新的factorial集重复此过程。然后像以前一样将每个集合中的值相乘。
一个更明智的选择是获取乘以product()和factorial()的每个数字的质因式分解（也许通过查找表），然后简单地将{{ 1}}并减去product()。然后，您只需乘以每个素数的幂，就可以通过平方运算（甚至对于较小的幂和因数，甚至是查找表）通过幂运算来更快地计算出它们本身。