用于将集合集划分为大致相等大小的块的算法？

Question

考虑n个有限集的集合A，其成员不一定是不相交的。设P = {P [1]，P [2]，...，P [m]}为A的分区，对于1..m中的每个i，设U [i]为所有的并集P [i]的要素。所以U = {U [1]，U [2]，...，U [m]}。我想要一种算法来找到一个P，使得相应的U是一个分区，并且使得U的最小和最大元素之间的基数（即大小）的差异最小化。

数据特征：

• m小（2至5）且n <10000
• 通常，A
中存在大比例的1元素集
• A中的成对对之间的交点通常很小或为空

Answer 1

在问题评论中我的项链类比表明了这个解决方案：

1. 构建一个无向图G，其顶点是A的元素，如果A [i]与A [j]相交，则存在从A [i]到A [j]的边。
2. 找到G的连通分量C.这可以通过简单的广度优先或深度优先算法来完成。
3. 对于每个C [i]，取C [i]的顶点并将它们合并在一起，得到D [i]。您现在已将问题简化为特殊情况，因为集合D是A元素的并集的分区。
4. 使用bin-packing算法尝试将D的元素拟合到精确的m个bin中，每个bin的大小为ceil（t / m），其中t是D的所有元素的并集大小。如果失败，反复增加箱子的大小，直到它成功或者很明显它永远不会成功。 Bin打包算法通常是启发式的，因此可能找不到完美的解决方案。此外，这不仅仅是一个简单的装箱问题，因此即使是完美的装箱算法也可能找不到最佳解决方案。

我有兴趣知道是否有更有效的解决方案。特别是，我有一种预感，即在步骤4中重复使用bin-packing算法是不明智的。

Answer 2

我从A的交叉图开始，当两个节点具有非空交集时，其具有A和边的节点元素。对于某些i，该图的每个连通分量必须包含在单个P（i）中。

让C（1），...，C（k）成为图的连通分量。让

size(j)=|union(a in C(j))|

现在你可以用大小（i）值重写问题，i = 1 ... k。即，给定正整数值s（1），...，s（k）。对于[1，.. k]的子集P，我们定义s（P）= sum（j在P中）s（j）。

我们希望找到[1，..，k]的分区P'=（P'（1），...，P'（m）），条件是它最小化值：

max s(P'(j)) - min s(P'(j))

因此，我们确实不需要知道A元素的可能大小，而是知道图形的连通分量的可能大小，以提出“最佳”算法。