将点从一个坐标转换为另一个坐标

Question

我在2D坐标空间中有数据点，我想要线性转换到另一个坐标空间。下图将使事情变得清晰。

我的数据点位于灰色坐标空间中（左上角A是x = 0，y = 0点）。我想将所有点转换为粉红色坐标系，其中B是x = 0，y = 0点。

我将如何做到这一点？

Answer 1

这不是线性转换。

定义这个＆＃34;坐标系＆＃34;作为凸四边形，如下：

顶点坐标位于参数空间u, v中。沿一个方向插值然后另一个方向插值给出了一个普遍的观点：

这是参数u, v中的双线性。它仅在A + D - B - C = 0时变为线性，即四边形是平行四边形。

在这样的坐标系之间转换：

1. 假设（必需）这些ABCD个顶点嵌入在＆＃34;全局＆＃34;笛卡尔空间
2. 使用如上所述的插值从第一个系统的参数空间转换为全局空间

3. 通过反转上面的等式转换回参数空间，求解一对联立方程：

   

   u, v的解决方案：

   • 1表示平行四边形（G = 0）
   • 2用于一般凸四边形，因为坐标线（灰色）在每个方向上交叉奇点
   • 0表示凹四边形（复杂解）