Question

我正在尝试为lambda演算编写替换函数，并且在递归调用e上的替换之前，在lambda抽象（\ x.e）的情况下，我必须重命名e中的变量。我怎样才能在Coq中表示这种逻辑？

以下是一个最基本的例子，Coq给出的错误是无法猜测减少的参数。在简化的替换中，为什么Coq不能得到相同的电感尺寸？

Fixpoint replace (x: nat) (y: nat) (e: exp): exp := e.

Fixpoint substitute (x: nat) (t: exp) (body: exp): exp :=
match body with
| Abs xp e => Abs 0 (substitute x t (replace x 0 e))
| _ => Unit
end.

实际替换看起来像这样

Fixpoint replace (x: nat) (y: nat) (e: exp): exp :=
match e with
| Val => Val
| Var xp => if beq_nat x xp then Var y else e
| Ref f => Ref (replace x y f)
| Abs xp bd => Abs xp (replace x y bd)
| App e1 e2 => App (replace x y e1) (replace x y e2)
| Deref f => Deref (replace x y f)
| Loc l => Loc l
| Assign e1 e2 => Assign (replace x y e1) (replace x y e2)
| Unit => Unit
end.

Answer 1

通常，Coq不接受f(x) = f(g(subterm of x))形式的递归Fixpoints。当然，这是有道理的，因为g可能是一个增加术语大小的函数。

通常，解决方案是找到终止度量，而不是Fixpoint使用的普通“是子项”。在这里，您可以定义一个函数height : exp -> nat，对于叶节点为0，否则为max子树。然后，Coq有几种基于这种措施定义终止功能的方法，例如， Program Fixpoint和Function，或者您甚至可以手动定义一个Fixpoint，它接受一个表示高度限制的附加参数（如果该参数变为0，则返回一个虚拟值）。程序Fixpoint将为您提供证明义务，即每次递归调用都会减少该度量，并证明您需要证明replace保留高度的引理。

在替换的特定情况下，您可以尝试的另一个技巧是定义一个函数来应用多替换（从变量映射到表达式），而不是替换单个变量的函数。这样，在Abs-case中，您可以将重命名添加到要应用的替换而不是直接执行，然后该函数在结构上是递归的。

如何让Coq接受以下Fixpoint？

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