Question

我在竞赛中遇到了这个问题（现在已经结束了），我无法想到一个节省时间的算法。

您将获得一个带根的N（<10 ^ 5）个节点。最初所有节点都具有值0.对树的M更新（＆lt; = 10 ^ 5）具有

形式

添加x y - 将y添加到节点x。

AddUp x y - 将y添加到x，x的父项，x uptill Root的父项的父项。

之后将会有Q查询（＆lt; = 10 ^ 5）查询，您将被要求提供节点的值或以该节点为根的子树的总和。

我做了什么： -

首先，我尝试了根据操作更新每个节点的天真算法，但显然需要时间。

我还想过使用分段树和懒惰传播，但想不出正确的方法。

感谢任何帮助，谢谢！

Answer 1

首先，构建一个图表，其中孩子指向他们的父母。之后，解析所有更新并分别在树的每个节点中存储Add和AddUp的总和。您的节点应具有以下变量：

sum_add : the sum of all the Add of this node
sum_add_up : the sum of all the AddUp of this node
subtree_sum : the sum of the subtree. Initialize with 0 by now.

现在，使用拓扑顺序横向绘制图形，即，如果已经处理了所有子节点，则只处理节点，这需要O（N）。现在让我定义过程函数。

process(V) {
    V.sum_add_up = V.sum_add_up + sum(sum_add_up of all V.children)
    V.subtree_sum = V.sum_add + V.sum_add_up + sum(subtree_sum of all V.children)
}

现在您可以回答O（1）中的所有查询。对节点V的值的查询为V.sum_add + V.sum_add_up，而V的子树的查询仅为V.subtree_sum。

Answer 2

这是一棵Fenwick树，要解决此类问题，您必须在树上执行拓扑排序并计算每个节点的子代数。

索引：[0 1,2,3,4] 儿童：[4,2,0,0,0] 使用拓扑，您将获得该向量0 1 3 4 2，您需要将其反转：

fenwick Pos:  [0,1,2,3,4]
vector values:[2,4,3,1,0]
pos: [5,3,0,2,1]

使用fenwick树，您可以执行2种查询，更新查询，范围和查询当您只需要更新索引调用update(pos[index], y)时，则必须减小所有下一个值update(pos[index]+1, -y) 当您需要更新所有父母时，请致电update(pos[index], y)和update(pos[index] + childrens[index] + 1, -y);

要了解头寸的价值，您需要在pos [index]上调用范围总和查询

Answer 3

我认为这个问题只是二元搜索树的直接应用，对于插入和查询，它具有平均情况成本（在n个随机操作之后）O(1.39log(n))。

您所要做的就是以递归方式添加新节点并同时更新值和求和。

实施也相当简单（抱歉C＃），例如Add()（AddUp()类似 - 每次转到左或右子树时增加值）：

public void Add(int key, int value)
{
    Root = Add(Root, key, value);
}

private Node Add(Node node, int key, int value)
{
    if (node == null)
    {
        node = new Node(key, value, value);
    }

    if (key < node.Key)
    {
        node.Left = Add(node.Left, key, value);
    }
    else if (key > node.Key)
    {
        node.Right = Add(node.Right, key, value);
    }
    else
    {
        node.Value = value;
    }

    node.Sum = Sum(node.Left) + Sum(node.Right) + node.Value;

    return node;
}

对于我机器上的100000个号码，这会转换为以下数字：

Added(up) 100000 values in: 213 ms, 831985 ticks
Got 100000 values in:       86 ms, 337072 ticks

对于100万个数字：

Added(up) 1000000 values in: 3127 ms, 12211606 ticks
Got 1000000 values in:       1244 ms, 4857733 ticks

这个时间足够有效吗？您可以尝试完整代码here。

范围查询树中的路径

3 个答案: