Question

我在网上发现了这个问题。有人可以详细解释一下，为什么使用OLS更好？是不是因为样本数量不足？另外，为什么不使用所有1000个样本来估计先前的分布？

我们有1000个随机抽样的数据点。目标是尝试建立回归模型，其中一个响应变量来自k回归量变量。哪个更好？ 1.（贝叶斯回归）使用第一个 500个样本来估计假设先验的参数分配然后使用最后500个样本来更新之前的后验分布与后验估计用于最终回归模型。 2.（OLS回归）使用简单的普通具有所有1000个回归变量的最小二乘回归模型

Answer 1

“更好”始终是一个意见问题，它在很大程度上取决于背景。

频繁使用OLS方法的优势：更简单，更快速，更容易被更广泛的受众访问（因此更难以解释）。我的一位聪明的教授曾经说过“当苍蝇拍行动时，你不需要建造一个原子粉碎器。”

等效贝叶斯方法的优势：对于进一步模型开发更灵活，可以直接对派生/计算量的后验进行建模（还有更多，但这些是我给出贝叶斯算法的动机分析）。注意“等效”这个词 - 你可以在贝叶斯框架中做一些你不能在频率论方法中做的事情。

嘿，这是R的探索，首先模拟数据，然后使用典型的OLS方法。

N <- 1000
x <- 1:N
epsilon <- rnorm(N, 0, 1)
y <- x + epsilon

summary(lm(y ~ x))
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.9053 -0.6723  0.0116  0.6937  3.7880 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 0.0573955  0.0641910    0.894    0.371    
## x           0.9999997  0.0001111 9000.996   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
## 
## Residual standard error: 1.014 on 998 degrees of freedom
## Multiple R-squared:      1,  Adjusted R-squared:      1 
## F-statistic: 8.102e+07 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

...这里是一个等价的贝叶斯回归，在回归参数和所有1000个数据点上使用非信息先验。

library(R2jags)
cat('model {
  for (i in 1:N){
    y[i] ~ dnorm(y.hat[i], tau)
    y.hat[i] <- a + b * x[i]
  }
  a ~ dnorm(0, .0001)
  b ~ dnorm(0, .0001)
  tau <- pow(sigma, -2)
  sigma ~ dunif(0, 100)
}', file="test.jags")

test.data <- list(x=x,y=y,N=1000)
test.jags.out <- jags(model.file="test.jags", data=test.data, 
                  parameters.to.save=c("a","b","tau","sigma"), n.chains=3, n.iter=10000)
test.jags.out$BUGSoutput$mean$a
## [1] 0.05842661
test.jags.out$BUGSoutput$sd$a
## [1] 0.06606705
test.jags.out$BUGSoutput$mean$b
## [1] 0.9999976
test.jags.out$BUGSoutput$sd$b
## [1] 0.0001122533

请注意，参数估计值和标准误差/标准偏差基本相同！

现在这是另一个贝叶斯回归，使用前500个数据点来估计先验，然后用最后500个来估计后验。

test.data <- list(x=x[1:500],y=y[1:500],N=500)
test.jags.out <- jags(model.file="test.jags", data=test.data, 
                  parameters.to.save=c("a","b","tau","sigma"), n.chains=3, n.iter=10000)

cat('model {
  for (i in 1:N){
    y[i] ~ dnorm(y.hat[i], tau)
    y.hat[i] <- a + b * x[i]
  }
  a ~ dnorm(a_mn, a_prec)
  b ~ dnorm(b_mn, b_prec)
  a_prec <- pow(a_sd, -2)
  b_prec <- pow(b_sd, -2)
  tau <- pow(sigma, -2)
  sigma ~ dunif(0, 100)
}', file="test.jags1")

test.data1 <- list(x=x[501:1000],y=y[501:1000],N=500,
                   a_mn=test.jags.out$BUGSoutput$mean$a,a_sd=test.jags.out$BUGSoutput$sd$a,
                   b_mn=test.jags.out$BUGSoutput$mean$b,b_sd=test.jags.out$BUGSoutput$sd$b)
test.jags.out1 <- jags(model.file="test.jags1", data=test.data1, 
                  parameters.to.save=c("a","b","tau","sigma"), n.chains=3, n.iter=10000)

test.jags.out1$BUGSoutput$mean$a
## [1] 0.01491162
test.jags.out1$BUGSoutput$sd$a
## [1] 0.08513474
test.jags.out1$BUGSoutput$mean$b
## [1] 1.000054
test.jags.out1$BUGSoutput$sd$b
## [1] 0.0001201778

有趣的是，推论与OLS结果类似，但差不多。这使我怀疑用于训练先前的500个数据点在分析中没有像过去500那样多的重量，而之前的数据点实际上已经被淘汰了，尽管我不确定这一点。

无论如何，我无法想到不使用所有1000个数据点（以及非信息先验）的原因，特别是因为我怀疑500 + 500使用前500和后500不同。

所以也许，所有这些的答案是：我相信OLS和1000点贝叶斯结果超过500 + 500，OLS更简单。

Answer 2

我认为不是更好的问题，而是您喜欢哪种推理方法的问题。

您必须记住，OLS来自常识性推理学校，估计是Donde ML过程，对于这个特定问题，它与距离最小化的几何论点相吻合（在我个人看来，这很奇怪，因为据说我们正在处理一种无聊的现象。

另一方面，在贝叶斯方法中，推断是通过后验分布进行的，后验分布是先验的乘积（代表决策者先前关于现象）和可能性。

同样，问题是您对哪种推理方法感到满意。

贝叶斯与OLS

2 个答案: