Question

我对Big-O-Notation有疑问。我们有zu证明或表明，以下的州议员，都不正确。我不知道如何展示它。

a）给定一个多项式p，其度k> = 1：log（p（n））∈Θ（log（n））

b）f，g∈Θ（h）⇒| f - g | ∈Θ（h），其中| f - g | ：n→| f（n） - g（n）|

你们中的任何人都可以告诉我什么是正确的，而不是解释我怎么能表明这个？

Answer 1

a）给定一个多项式p，其度k> = 1：log（p（n））∈Θ（log（n））

设p（n）= a [0] + a [1] n + a [2] n ^ 2 + ... + a [k] n ^ k，其中k> = 1.为了显示Theta我们必须显示O和Omega，或两种方式。为了显示O，我们证明存在c，使得对于n> n0，log（p（n））＆lt; = c log（n）。首先，我们注意到＆lt; = b iff e ^ a＆lt; = e ^ b（因为e ^ x是单调增加的）。因此，log（p（n））＆lt; = c log（n）iff p（n）＆lt; = n ^ c。我们可以从p（n）的每个项中得出最高阶项n ^ k和具有最大幅度的系数的绝对值（称为a'）得到：p（n）=（n ^ k）（a '）（b [0] / n ^ k + b [1] / n ^（k-1）+ ... + b [n]）。注意，所有b [n]＆lt;因此，我们得到p（n）<1。（N ^ k）的（A'）N。但是p（n）＆lt; （n ^ k）（a'）n = n ^（k + 1）（a'）＆lt; = n ^ c。设c = k + 1 + z。然后我们需要n ^（k + 1）（a'）＆lt; = n ^（k + 1）（n ^ z），如果'＆lt; = n ^ z则为真。只要n>在图1中，存在z使得n ^ z> 1。 a'对于任何固定的'：选择z＆gt; log_n a'。

以另一种方式显示O作为练习。提示：n ^ k＆lt; = p（n）。

Answer 2

第1步

让我们来定义

k := deg(p)
A := max(|ck|, ..., |c0|)

其中ci是p的系数。然后

|p(n)| <= |ck|n^k + ... + |c1|n + |c0|
       <= A n^k + ... + A n + A
       <= A n^k + ... + A n^k + A n^k
       <= (k+1)A n^k

然后

log(|p(n)|) <= log((k+1)A) + k log(n)
            <= (log((k+1)A) + k) log(n)

因为log是一个增加的函数，1 <= log(n)是n >> 1。换句话说

log(|p(n)|) ∈ (log(n))

（请注意，我使用|p(n)|而不是p(n)来包含p(n) < 0的情况。）

第2步

i = 0, 1, ..., k-1让我们定义

di := |ci|/|ck|

和

s := d_{k-1} + ... + d0

他们的总和。

现在取n0整数n0 >= 2s。对于任何n >= n0我们有

n >= 2s

或

n/2 >= d_{k-1} + ... + d0
    >= d_{k-1} + ... + d0/n^{k-1}

乘以n^{k-1}

(n^k)/2 >= d_{k-1} n^{k-1} + ... + d0

因此，对于n >= n0我们得到

|p(n)| = |ck n^k + c_{k-1} n^{k-1} + ... + c0|
       = |ck||n^k + c_{k-1}/ck n^{k-1} + ... + c0/ck|
       >= |ck|(n^k - |c_{k-1}/ck n^{k-1} + ... + c0/ck|)
       >= |ck|(n^k - |d_{k-1} n^{k-1} + ... + d0|)
       >= |ck|(n^k - (n^k)/2)
       = |ck|/2 n^k

考虑log

 log(|p(n)|) >= log(|ck|/2) + k log(n) ∈ (log(n))

第一个结论

从上面的步骤1和2开始：

 log(|p(n)|) ∈ (log(n))

第3步

让f, g ∈ Θ(h)然后

|f(n) − g(n)| <= |f(n)| + |g(n)|
              <= A h(n) + B h(n)
              <= (A+B)h(n) ∈ (h)

<强>然而

|f(n) − g(n)| ∈ Θ(h)通常不正确。这是一个例子：

 f(n) = n^k + n^{k-1}
 g(n) = n^k

这两个函数都属于Θ(n^k)而

|f(n) - g(n)| = n^{k-1} ∈ Θ(n^{k-1}) ≠ Θ(n^k)

Big-O-Notation，计算规则

2 个答案: