数值答案 - 微分方程MATLAB

Question

这是我尝试过的代码：

syms y(x)
Du = diff(y,x);
ode = diff(y,x,2) - (0.5/(x+1))*diff(y,x)+0.5*x*y == x;
cond1 = y(1.3) == 0.5;
cond2 = Du(1.3) == 2;
conds = [cond1 cond2];

uSol(x) = dsolve(ode,conds)

如果有符号回答它会起作用，但我想没有。谁能告诉我如何得到这个等式的答案？

这是我得到的答案：

Warning: Explicit solution could not be found.
> In `dsolve` (line 201)
    uSol(x) =
    [ empty sym ]

Answer 1

您可以使用ode45或使用数值方法。

无论哪种方式，您都希望将方程式分为两个一阶方法

u（x）= y＆＃39;（x）

u＆＃39;（x）= x - 0.5 * x * y + 0.5 * u /（x + 1）

y（1.3）= 0.5

u（1.3）= 2

这样做自己......

function StackOverflow
close all
set(groot,'defaultLineLineWidth',3)

dx=0.01;
x = (0:dx:1.3)';
N = length(x);

Y = nan(size(x,1),2);
Y(N,:) = [0.5, 2];

F =@(x,y)  [y(2) , x-0.5*x.*y(1)+0.5*y(2)./(x+1)];

for i=N:-1:2                              % calculation loop
    k_1 = F(x(i), Y(i, :));
    k_2 = F(x(i) + 0.5*dx, Y(i,:) + 0.5*dx*k_1);
    k_3 = F(x(i) + 0.5*dx, Y(i,:) + 0.5*dx*k_2);
    k_4 = F(x(i) +     dx, Y(i,:) +     dx*k_3);

    Y(i-1,:) = Y(i,:) + (dx/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4);  % main equation
end

y = Y(:,1);
u = Y(:,2);

figure(1)
set(gcf, 'units', 'normalized')

subplot(2,1,1)
plot(x , y)
set(gca,'fontsize',14, 'Position',[0.12 0.57 0.85 0.40])
xlim([min(x), max(x)])
xticks(linspace(min(x), max(x), 5))
xticklabels({})
ylabel('$y(x)$', 'Interpreter', 'latex')


subplot(2,1,2)
plot(x , u)
set(gca,'fontsize',14, 'Position',[0.12 0.125 0.85 0.40])
xlim([min(x), max(x)])
xticks(linspace(min(x), max(x), 5))

xlabel('$x$', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$y''(x)$', 'Interpreter', 'latex')

end

或者让Matlab为你做这件事......

function StackOverflow2

%Note: t = xMax - x
[t,Y] = ode45(@F ,[0 1.3],[0.5; 2]);

z = flipud([t,Y]);
x = max(t) - z(:,1);
y = z(:,2);
u = z(:,3);

figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(x , y)
set(gca,'fontsize',14, 'Position',[0.12 0.57 0.85 0.40])
xlim([min(x), max(x)])
xticks(linspace(min(x), max(x), 5))
xticklabels({})
ylabel('$y(x)$', 'Interpreter', 'latex')


subplot(2,1,2)
plot(x , u)
set(gca,'fontsize',14, 'Position',[0.12 0.125 0.85 0.40])
xlim([min(x), max(x)])
xticks(linspace(min(x), max(x), 5))

end

function dydt = F(t,y)

dydt = [y(2); (1.3-t)-0.5*(1.3-t).*y(1)+0.5*y(2)./((1.3-t)+1)];

end

Answer 2

在最早的Matlab版本中，脚本中不允许使用函数定义。从@user1543042

得到答案

你应该把它放在一个文件中

function StackOverflow2

%Note: t = xMax - x
[t,Y] = ode45(@F ,[0 1.3],[0.5; 2]);

z = flipud([t,Y]);
x = max(t) - z(:,1);
y = z(:,2);
u = z(:,3);

figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(x , y)
set(gca,'fontsize',14, 'Position',[0.12 0.57 0.85 0.40])
xlim([min(x), max(x)])
xticks(linspace(min(x), max(x), 5))
xticklabels({})
ylabel('$y(x)$', 'Interpreter', 'latex')


subplot(2,1,2)
plot(x , u)
set(gca,'fontsize',14, 'Position',[0.12 0.125 0.85 0.40])
xlim([min(x), max(x)])
xticks(linspace(min(x), max(x), 5))

end

这是另一个文件：

function dydt = F(t,y)

dydt = [y(2); (1.3-t)-0.5*(1.3-t).*y(1)+0.5*y(2)./((1.3-t)+1)];

end