有效实现一系列矩阵向量积/特定“张量”矩阵乘积

Question

我有一个特殊的算法，其中作为持续步骤之一，我需要执行3-D数组与2-D数组的乘法，使得3-D数组的每个矩阵切片相乘二维数组的列。换句话说，如果A是N x N x N矩阵且B是N x N矩阵，我需要计算大小为{{C的矩阵1}} N x N。

实现这个的简单方法是循环，即

C(:,i) = A(:,:,i)*B(:,i);

但是，循环不是Matlab中最快的，应该避免。我正在寻找更快的方法来做到这一点。现在，我所做的就是使用这个事实（现在Mathjax会很棒！）：

  

[A1 b1，A2 b2，...，AN bN] = [A1，A2，...，AN] * blkdiag（b1，b2，...，bN）

这允许摆脱循环，但是，我们必须创建大小为C = zeros(N,N); for i = 1:N C(:,i) = A(:,:,i)*B(:,i); end 的块对角矩阵。我通过N^2 x N制作它是有效的，就像这样：

sparse

根据我的基准测试，尽管进行了必要的准备（单独乘法比循环快3到4倍），但这种方法比循环快了大约2倍（对于大N）。

这是我做的快速基准，改变问题大小A_long = reshape(A,N,N^2); b_cell = mat2cell(B,N,ones(1,N)); % convert matrix to cell array of vectors b_cell{1} = sparse(b_cell{1}); % make first element sparse, this is enough to trigger blkdiag into sparse mode B_blk = blkdiag(b_cell{:}); C = A_long*B_blk; 并测量循环的时间和替代方法（有和没有准备步骤）。对于大N，加速大约是2 ... 2.5。

尽管如此，这看起来非常复杂。是否有更简单或更好的方法来实现这一目标？这看起来像是一个非常通用/标准的问题，所以我可以想象解决方案就在身边，我只是不知道该搜索什么。

P.S。：N是一个明显的选择，但这里的块对角线已经blkdiag(A1,...,AN)*B所以我认为它不会比我做的更好。

修改：感谢大家的评论！我在Matlab R2016b上进行了新的基准测试。不幸的是，我在同一台计算机上没有这两个版本，所以我们无法比较绝对数字，但相对比较仍然很有趣，因为它已经改变了一点。这是：

以下是对高N区域的放大：

观察结果：

• SumRepDot是Divakar提出的解决方案，即使用N^2 x N^2将R2016b简化为squeeze(sum(bsxfun(@times,A,permute(B,[3,1,2])),2))。它比高squeeze(sum(A.*permute(B,[3,1,2]),2))的循环快约1.2 ... 1.4。
• 在某种意义上，循环仍然是“慢”的，即与稀疏块对角矩阵的乘法要快得多。
• 对于后者，高N的准备开销似乎可以忽略不计，这使得它总体上比循环快3 ... 4倍。这是一个很好的结果。