Question

背景：我对Agda有一些基本的了解，而我正试图理解这里的要点：

https://gist.github.com/copumpkin/5945905

但我在理解所有Pred内容和使用时遇到了问题宇宙。

这是Pred的定义：

Pred : ∀ {a} → Set a → (ℓ : Level) → Set (a ⊔ suc ℓ)
Pred A ℓ = A → Set ℓ

-- Unary relations can be seen as sets

为什么我会想要这样的类型，这个评论意味着什么？它的存在在任何地方使用，所以我无法在不理解的情况下继续前进。

接下来，有拓扑空间的记录定义：

record Space x ℓ : Set (Level.suc x ⊔ Level.suc ℓ)  where

这是什么魔法？我有点明白x是我们＆＃34;积分的水平＆＃34; 但是什么是ℓ和结果类型？

Answer 1

关于二元关系有a related question。

在A Set类型Set ℓ下（或宇宙多态设置中的P）下是一个命题。因此，某些A -> Set类型A的{{1}}是在A元素上定义的谓词。

考虑例如谓词Positive，仅对suc n格式的n的自然数字保留（我的机器之外的因此是ASCII）：

data Positive : Nat -> Set where
  positive : forall n -> Positive (suc n)

positive n是Positive (suc n)的（或更确切地说）证据。拥有Pred A = A -> Set后，我们可以将Positive的类型签名写为

data Positive : Pred Nat where

另一个例子是来自标准库中All模块的Data.List.All。它被定义为

data All {a p} {A : Set a}
         (P : A → Set p) : List A → Set (p ⊔ a) where
  []  : All P []
  _∷_ : ∀ {x xs} (px : P x) (pxs : All P xs) → All P (x ∷ xs)

All P是一个谓词，只要xs为列表的每个元素保留，就会保留任何列表P。使用Pred的Universe多态定义，我们可以将All的类型签名写为

data All {a p} {A : Set a}
         (P : Pred A p) : Pred (List A) (p ⊔ a) where

（并明确All是谓词变换器）。所以Pred主要是符号方便。

对于宇宙多态性，旧的Agda wiki中有一些Curry–Howard interpretation。在您的示例中，x是点的类型（X）所在的Universe级别。 ℓ中使用了Pred (Pred X ℓ) ℓ - 在X元素上定义的谓词上定义的谓词类型（我无法评论此表达式的拓扑意义）。 Set x位于Set (suc x)，而Pred (Pred X ℓ) ℓ (X -> Set ℓ) -> Set ℓ位于Set (suc ℓ)，Space x ℓ位于Set (suc x ⊔ suc ℓ)，因此$_整个/位于${_%/*}

下层一元关系与宇宙多态性

1 个答案: