Question

给定1和N，我们需要找到从1到N的所有数字的数字的XOR值之和，例如，对于N，我们需要计算函数F

F(k){
    ans =0;
    while(k>0){
      ans= ans^(k%10);
      k/=10;
   }
   return ans;
}

表示[1，N]中的K.

有没有一种有效的方式可以说。据我所知，我们应该计算V值使用DP产生XOR的次数，但我不能想到实现它的方法。

请给出一些想法。

示例：F（37）= 3 ^ 7 = 4

注意：N可以大到10 ^ 18

Answer 1

天真的方法花费O(N*log10(N))时间，通过简单的优化，您可以获得O(N)运行时。这个想法是：

k位数字的所有数字的XOR =第一个（k-1）个数字的XOR ^最后一个数字。

显然，您可以通过将数字除以10来找到第一个k - 1位数，因此关系变为：

F(i) = F(i / 10) ^ (i % 10)

代码：

result = 0
for i = 1:N
  dp[i] = dp[i/10] ^ i%10
  result += dp[i]

Answer 2

让我们计算一个稍微不同的东西：从1到N的数字对于所有X，其数字的xor等于X from 0 to 15。
一旦我们知道，问题的答案就是所有有效count[X] * X的{{1}}总和。
我们如何有效地计算它？我们将使用标准的逐位动态编程。
我们可以将所有数字视为字符串。如果我们用零填充它们以使它们的长度等于X中的数字位数，我们可以按字典顺序对它们进行比较。
动态编程的状态为：N - 以xor为(prefixLength, curXor, isSmaller)的方式放置第一个prefixLength个最高有效数字的方式数。如果此前缀小于curXor的前缀，则isSmaller为true。否则，前缀等于N的前缀。
转换是再增加一位数。 N变化很简单。 curXor增加1。如果prefixLength为真，我们可以放置任何数字并继续。否则，我们不能在isSmaller中放置比此位置的数字更大的数字。如果我们放同一个，N保持错误。否则，它就变成了现实。
让isSmaller为L中的位数。比N范围内的数字xor等于f(L, X, 0) + f(L, X, 1)的确切X数字。
我们完成了！状态数大约为16 * L * 2，转换次数约为16 * L * 2 * 10.作为[1, N]，此解决方案的时间复杂度为L = O(log N)，看起来相当不错。

这个解决方案背后的想法是标准的：当我们需要计算给定范围内有多少个具有特定属性（如数字之和，xor或其数字的其他函数）时，我们将数字放在一个 - 从最重要到最不重要的一个并跟踪3个参数:(已经放置的位数，前缀小于O(log N)的前缀，一些特定于问题的数据）。