创建具有更好复杂性的二叉搜索树

Question

您将获得一个数字，它是二叉搜索树的根。然后，您将获得一个N元素数组，您必须将其插入到二叉搜索树中。如果数组处于排序顺序，则时间复杂度为N ^ 2。我需要以更好的复杂性获得相同的树结构（比如NlogN）。我尝试了很多，但无法解决它。有人可以帮忙吗？

Answer 1

我假设所有数字都是不同的（如果不是这样，你可以使用一对（数字，索引）代替。）

假设我们要插入我们要插入元素X。如果它是迄今为止最小/最大的元素，它清晰的地方。

我们a = max y: y in tree and y < X和b = min y: y in tree and y > X。我声称：

1. 其中一个是另一个的祖先。

2. a没有合适的孩子或b没有左孩子。

证明：

1. 不是这样的。让l = lca(a, b)。由于a在其左子树中，b在其右子树中，a < l < b。矛盾。

2. 让a成为b的祖先。如果b有一个左孩子c。比a < c < b。矛盾（另一种情况同样处理）。

所以解决方案是这样的：

1. 让我们保留一组已经存在于树中的元素（我的意思是一个有效的集合，其中包含低级操作，如C ++中的std::set或Java中的TreeSet）。

2. 让我们在每次插入时（使用set的lower_bound操作在a时间内）找到b和O(log N)。其中只有一个没有合适的孩子。这就是新元素的用武之地。

总时间复杂度显然是O(N log N)。

Answer 2

如果你在字典中查找单词，可以打开中途的字典并查看页面。然后，它会告诉您搜索词是否在字典的第一个或第二个半部分。重复，消除每个传球中剩余一半的一半，然后你很快将它缩小到一个单词。 40亿字词典将需要大约32遍。

二叉搜索树使用相同的原理。除了查找，您还可以插入。插入是O（log N），除非树变得退化。 为了防止树变质，你使用了一个＆＃34; red＆＃34;和＆＃34;黑＆＃34;节点（颜色只是传统的），你不允许长时间运行 要么是颜色。完整的解释在我的书“基本算法”

中

http://www.lulu.com/spotlight/bgy1mm

实施就在这里

https://github.com/MalcolmMcLean/babyxrc/blob/master/src/rbtree.c https://github.com/MalcolmMcLean/babyxrc/blob/master/src/rbtree.h

但如果你想了解红黑，你需要一些解释 它的树木。