Question

我想使用Sage找到同余子群Gamma(N)，Gamma_1(N)等的椭圆点。我知道MAGMA中有简单的功能（EllipticPoints(G)），但在Sage中找不到类似的东西。有什么建议吗？

Answer 1

Sage具有函数Gamma，Gamma0，Gamma1来定义模块组的同余子组。

给定这样一个组，方法nu2和nu3给出了数量该组的2阶和3阶的椭圆点。

sage: G = Gamma0(13)
sage: G.nu2()
2
sage: G.nu3()
2

方法ncusps，index，genus给出了尖点的数量，指数，同义群的属。

sage: G.ncusps()
2
sage: G.index()
14
sage: G.genus()
0

您所指的Magma文档可能是这样的： https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1554

在这种情况下，您需要实际的椭圆点上半平面。这是一种获取它们的方法。

按如下方式定义函数elliptic_points。

def elliptic_points(G):
    F = FareySymbol(G)
    P = F.pairings()
    if all(n > 0 for n in P):
        return []
    M = F.pairing_matrices()
    ell = []
    for k, n in enumerate(P):
        if n < 0:
            a, b, c, d = list(M[k])
            R.<x> = QQbar[]
            p = c*x^2 + (d-a)*x - b
            for r in p.roots(multiplicities=False):
                if r.imag() > 0:
                    ell.append(r)
    return ell

然后以下工作：

sage: G = Gamma0(13)
sage: ell = elliptic_points(G)

sage: ell
[0.2692307692307693? + 0.06661733875264913?*I,
 0.3846153846153846? + 0.07692307692307692?*I,
 0.6153846153846154? + 0.07692307692307692?*I,
 0.7307692307692308? + 0.06661733875264913?*I]

sage: for p in ell:
....:    print p.radical_expression()
....:
1/26*I*sqrt(3) + 7/26
1/13*I + 5/13
1/13*I + 8/13
1/26*I*sqrt(3) + 19/26

我在现有的Sage代码中找不到此功能。可能值得添加它。

Sage中的椭圆点

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