Question

让我们说我们有一堆收音机，每个收音机一遍又一遍地播放同一首歌。是否可以同步所有收音机中的所有歌曲？我们能找到一个从一开始就听到所有歌曲的时间吗？

为简单起见，我们会说我们只有两个无线电。

我有以下公式：

c和z表示以秒为单位的歌曲长度。 a和x代表歌曲中的当前位置（以秒为单位） S表示C和Z同步的时间。（当两首歌同时开始时）

例如：

Song 1
a = 17 : the time before the song ends.
b = 8 : the rest of the song.
c = a + b which is the full song in seconds.
And
Song 2 
x = 8 : the time before the song ends.
y = 9 : the rest of the song.
z = 8 + 9 which is the full song in seconds.

Song 1 : a + ( a + b) => S
Song 2 : x +(( x + y ) × n) => S

Song 1 : 17 + ( 17 + 8) => 42
Song 2 : 8 + ((8 + 9)) = 25
So in order to synchronize song 2 with song 1 we have to multiply (x + y)    
by two and add x to it.

Song 2 : 8 + ((8 + 9) x 2) => 42

So S = 42 and so the two songs will synchronize after 42 seconds.

现在第一个例子是最简单的例子。对于其他情况，我必须将z和c乘以两个以上才能得到适合它们的S.

我还有一些其他的输入，我试图想出一个能为我返回S的算法，但我没有运气。

这是我到目前为止所提出的：

c = a + b
a = 16
b = 4
c = 20
s = 216

和

z = x + y
x = 12
y = 5
z = 17
s = 216
S is the LCM of c and z

在第一个例子中，S就是这样找到的：

s = x +(z × n)
n = ( s − x ) ÷ b
12 + ( 17 × 12) = 216

和

s = a + (c × n)
n = ( s − a ) ÷ b
16 + ( 20 × 10 ) = 216

我想出了下面的两个公式基于S的值。但我需要找出一种方法来找到n而不实际使用S. 或者换句话说，我需要找出一种方法来找出我应该将（a + b）乘以n和（x + y）乘以n得到S的次数。

n = ( s − a ) ÷ b
S = x + ( y × n)

但这些公式显然不会起作用，因为他们需要S.而我们无法使用它，因为这应该是我想要提出的公式的结果。

以下是一些计算的其他示例：

a2 = 52
b2 = 4
c2 = 56
s2 = 276

x2 = 60
y2 = 12
z2 = 72
s2 = 276

以下是永远不会同步的情况：

A1 = 14
B1 = 4
C1 = 18
S1 = Never synchronizes

A2 = 19
B2 = 5
C2 = 24
S2 = Never synchronizes

以下是歌曲已经同步的情况：

案例1

A2 = 17  
B2 = 0 
C2 = 17 
S4 = 0

A3 = 25  
B3 = 0 
C4 = 25  
S4 = 0

案例2

A4 = 0 
B4 =  13  
C4 = 13  
S4 = 0


A5 = 0 
B5 = 21 
C5 = 21  
S5 = 0

我正在考虑使用最小公倍数，但我不确定如何在这种情况下实现它，或者它是否是解决此问题的正确解决方案。

如果有超过2首歌曲，我想提出的算法也应该有用。例如，为3或4首歌曲找到S.

这个算法的主要问题是决定两首歌是否同步，计算本身并不那么难。你能帮我吗？提前致谢

Answer 1

c和z的最小公倍数是歌曲同步的连续时间之间的间隔（如果它们完全同步）。这意味着，如果我们可以确定一次，我们可以通过添加（或减去）LCM的倍数来找到其余的时间。要查找此时间（实际上是LCM），请使用extended Euclidean algorithm查找满足等式的整数T, U

 (c - a) + T*c = (z - x) + U*z

在替换V = -U至

下等效

 T*c + V*z = (c - a) - (z - x).

详细信息，找到c和z的GCD，检查它是否除(c - a) - (z - x)，然后将Bézout系数乘以((c - a) - (z - x))/GCD(c, z)。

Answer 2

我用我在评论中提到的逻辑编写了这段代码。基本思路是找到整数n1和n2，使（n1 * c） - （n2 * z）=（x-a）

关于我如何达到这个等式的简要说明：

s1 = a +（n1 * c）

s2 = x +（n2 * z）

我们需要s1 = s2

=＆GT; a +（n1 * c）= x +（n2 * z）

=＆GT; （n1 * c） - （n2 * z）=（x-a）

我们需要找到满足上述等式的n1和n2。 当且仅当c和z的GCD除以（x-a）时，解决方案才存在。

请注意：此逻辑适用于两个电台。

这是我的代码。

#include <stdio.h>

void findVal(unsigned int a, unsigned int c, unsigned int x, unsigned int z) ;
unsigned int getGCD(unsigned int n1, unsigned int n2);

int main()
{
    findVal(2, 37, 3, 43);
    return 0;
}

void findVal(unsigned int a, unsigned int c, unsigned int x, unsigned int z) {

    unsigned int  n1       = 0;
    unsigned int  n2       = 0;
    unsigned char foundVal = 1;
    unsigned int  s1       = a;
    unsigned int  s2       = x;

    //No need to find n1 and n2 if songs are already at the starting point.
    if((a == c) && (x == z))
    {
        s1 = 0;
        s2 = 0;
    }

    //No need to find n1 and n2 if remaining times are same.
    else if(a != x)
    {
       //Remaining times are not same.
       foundVal = 0;

       //Find GCD of c and z.
       unsigned int gcd = getGCD(c, z);

        //There is a solution only if the difference of x and a is divisible by the gcd.
       if(0 == (x-a) % gcd)
       {
           for(n2=1; n2<(unsigned int)-1; n2++)
           {
               unsigned int temp1 = (z*n2)+(x-a);
               if(0 == temp1%c)
               {
                    n1 = temp1/c;
                    s1 = a + n1*c;
                    s2 = x + n2*z;

                    foundVal = 1;
                    break;
               }
           }
       }
    }

    if(1 == foundVal)
    {
        printf("Found n1[%u] n2[%u] s1[%u] s2[%u]\n", n1, n2, s1, s2);
    }
    else
    {
        printf("Could not find n1 and n2\n");
    }
}

unsigned int getGCD(unsigned int n1, unsigned int n2)
{
    while(n1!=n2)
    {
        if(n1 > n2)
            n1 -= n2;
        else
            n2 -= n1;
    }
    printf("GCD = %u\n",n1);

    return n1;
}

输出：

Found n1[21] n2[18] s1[793] s2[793]

Answer 3

我提出了同步超过2首歌曲的解决方法，但这需要花费很多时间！

如果所有歌曲的当前位置均为0，则表示已同步。
如果所有歌曲的剩余长度均为same，那么它们将在剩余长度后同步。
如果以上测试（对于琐碎的案例）失败，我们使用启发式方法：

我们可以为每首歌使用一个具有以下属性的对象：

当前位置，x
剩余长度，y
总长度，z = x + y
播放长度，p

我们为每首歌创建一个这样的对象。我会从用户输入x和y值，计算z并将p初始化为x。

create a Min-Heap for the objects based on their `p` values.

for ( i = 1; i <= some_reasonable_value_like_10000; i++ )
{
    if (the `p` values of all objects are same)
        then break from the loop
    else
        increase the `p` value of the root of Min-Heap by `z` value of the corresponding object (and heapify, if required)
}
if ( i <= some_reasonable_value_like_10000)
    return `p` value of any object!

在大多数情况下，此算法将采用指数时间，但如果有很多歌曲则非常有用。此外，它不依赖于参数的素数或可分性。

欢迎对该算法进行评论和建议！

查找两首或更多首歌曲的交集的算法

3 个答案: