求解R中的双（n元组）多元积分

Question

我想编写一个代码来解决这种方程式：

为此，我编写了下面的代码，但它没有解决问题。你对在R中解决这种积分的可能性有任何想法吗？

t_0 = 15
mu = 0.1
lambda = 0.8
f = function(x1,x2) exp(mu*(x1+x2))*dexp(log(lambda)*(x1+x2))
f_comp = function(x2) f(x1,x2)
f_1 = function(x1) {integrate(f_comp,upper = t_0, lower = x1)}
result = integrate(f = f_1, lower = 0, upper = t_0)$value

---------编辑：

鉴于下面的答案，我将代码改编为我的示例，但我仍然认为不正确，至少积分的值0没有意义。

integrate(function(x1) {
  sapply(x1, function(x1){
    integrate(function(x2)  exp(mu*(x1+x2))*dexp(log(lambda)*(x1+x2)), lower = x1, upper = t_0)$value
  })
}, 0, t_0)

顺便说一句，我想为此制定一般程序（这就是为什么我不用手计算积分）。这不仅是双积分，而且是n元组积分，所以我需要一个通用的程序来进行这种计算。

Answer 1

对集成领域进行描述。这是具有顶点（0,0），（0，t0），（t0，t0）的单纯形（三角形）。要评估单纯形上的整数，可以使用SimplicialCubature包。

t0 = 15
mu = 0.1
lambda = 0.8

library(SimplicialCubature)
f <- function(xy){
  x <- xy[1]; y <- xy[2]
  exp(-mu*(x+y)) * (1-exp(-lambda*(x+y))) 
}
S <- cbind(c(0,0), c(0,t0), c(t0,t0))
adaptIntegrateSimplex(f, S)$integral
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integrate(function(x1) {
  sapply(x1, function(x1){
    integrate(function(x2) exp(-mu*(x1+x2))*(1-exp(-lambda*(x1+x2))), lower = x1, 
              upper = t0)$value
  })
}, 0, t0)$value
# 29.55906