Question

我想评估一个只有32位整数硬件的实时嵌入式系统上的多项式。出于这个原因，我试图使用定点算术。如何在不对参数施加荒谬限制的情况下避免溢出？

假设我有系数a,b,c,d，我想评估

ax^3 + bx^2 + cx + d

适用于x的特定范围。

假设系数a,b,c,d和x的范围可以离线计算，并且可以缩放以生成我用来评估多项式工作的任何方法。

我可以做些什么来避免溢出，但结果中仍然有大约20位的精度？如果我什么都不做，那么即使是x的小值（如10,000），x ^ 3也是1,000,000,000,000，不适合32位。

举一个例子，假设我想评估多项式

F(x) = ax^3

对于范围为x=<0.0,1.0>的x。我想要F(0.0) = 0.0和F(1.0) = 100.0。但我也希望此函数的值在该范围内的10,000点，因此F(0.0001)，F(0.0002)等。

如果我希望F(x)的结果始终精确到最接近的整数，我应该如何仅使用32位整数数学来评估F(x)？

Answer 1

解决ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = MAXINT - 1

这给出了不会溢出的最大输入值。

然后相应地缩放输入值。评估多项式，然后反转缩放。

Answer 2

也许使用某种科学记数法？ 1,000,000,000,000是1.0 x 10 ^ 12，因此您可以使用20位在指数之前存储该位，然后剩余的12位可用于额外的精度或指数。

Answer 3

定义并实施fixed point data types and arithmetic operations。

在计算之前，将所有实数转换为定点格式并对其进行操作。

同样让消费者接受定点数据，或将定点数据转换为整数或浮动。

Q值，即缩放因子，是在精度和范围之间进行折衷的设计选择。

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

typedef int32_t Q16;

Q16 floatToQ16(float in)
{
    return in*(1<<16);  
}
float q16ToFloat(Q16 in)
{
    return (float)in/(1<<16);
}
Q16 q16mul(Q16 a, Q16 b)
{
    return (int64_t)a*b>>16;
}
Q16 q16pol(Q16 a, Q16 b, Q16 c, Q16 x)
{
    return q16mul(a, q16mul(q16mul(x, x), x)) 
          + q16mul(b,q16mul(x,x)) 
          + q16mul(c, x); 
}
int main(void) {
    printf("2*20.123^3+3*20.123^2+4*20.123=%f\n",
            q16ToFloat(q16pol(floatToQ16(2.0f), 
                              floatToQ16(3.0f), 
                              floatToQ16(4.0f), 
                              floatToQ16(20.123f))));
    return 0;
}

演示：http://ideone.com/5vVNb8

参考：

GCC API of fixed point arithmetics

N1169 draft, fixed point support in C programming language

Answer 4

小数位

您的示例告诉我们x=<0.0,1.0>步骤至少10000，因此您需要代表min_dx=1.0/10000.0=0.0001。

注意十进制小数部分不容易转换为二进制表示，因此如果您使用10000步骤进行摊位小数位计算，并且作为多个步骤，那么点之间的差异将是非线性的（在0.0001左右振荡）。为了更精确地添加一个或更多位。
```
fract_bits=ceil(log2(10000))=14;
min_dx=1/(2^14)=1/16384=0.00006103515625
```
使用15小数位来更安全地使用
```
min_dx=1/(2^15)=1/32768=0.000030517578125
```
整数位

假设 2＆＃39; os补充和已签名的整数算术，我们已离开：
```
int_bits=32-fract_bits=32-15=17
absmax=2^(int_bits-1)=2(16)=16384
```
因此，如果任何有效<-16384,16383>的多项式表达式的子结果都不超出范围x，那么您可以使用17.15位的定点算术
多种定点格式

如果您的多项式表达式的任何子结果超出任何有效<-16384,16383>的范围x，那么您需要使用多种固定格式。对于范围x=<0.0,1.0>，仅当|a|,|b|,|c|,|d|中的任何一个大于absmax/4时，才会出现这种情况。当你声称|result|<=100.0时，这不应该经常发生。

无论如何，如果x范围为x=<0.0,2.0>，则x^0,x^1,x^2,x^3会有不同的范围，并且可能更容易溢出子结果。在这种情况下，您可以使用较低的fract_bits来获得x的较高幂，每个多项式部分使用不同的固定点格式，最后将所有这些格式计算为单个输出（具有最小数量的小数位））。

如果由于精确成本而无法降低fract_bits，那么您需要使用64位（或更多）算术（可以使用32位操作完成）。

如何用无溢出的定点算法求多项式？

4 个答案: