递归关系Quicksort

Question

我一直在研究quicksort的reccurence关系，我可以了解它们如何达到最终的递归关系，但随后他们跳到了时间顺序。例如：

T(N) = T(N-1) + T(0)+ Theta(sqrt(N))

然后他们跳转到以下时间顺序：O(Nsqrt(N))

我不遵循它们从递归关系到时间顺序的方式......

Answer 1

递归关系没有明确定义。你需要一个边界条件。我们假设T(1)=1=sqrt(1)和T(0)=0。

证明T(N)=O(N*sqrt(N))非常简单：

T(N) = T(N-1) + Theta(sqrt(N)) = T(N-2) + sqrt(N-1) + sqrt(N)
     = ... = sqrt(N) + sqrt(N-1) + ... + sqrt(1)
     <= N * sqrt(N).

绑定<= N*sqrt(N)显然是因为sqrt(1)<...<sqrt(N-1)<sqrt(N)。

因此T(N)=O(N*sqrt(N))。