数据结构中的MST和Uniquness问题是旧解决的问题吗？

Question

我准备参加P.hD入学考试。数据结构的旧解决方案之一如下：

关于简单，无向，加权和连接图MST的{​​{1}}，以下哪项声称属实？ （边缘权重不一定不同。）

1）如果G中的任何切口之间最轻的边缘是唯一的，则G是唯一的。

2）如果所有边权重都不同，MST是唯一的。

3）如果MST的权重等于u和e=(u, v)之间所有路径中最大最轻边，则v中的e。

答案：其中一个是正确的。

谁能解释更多，这是真的吗？为什么？有任何证据，或者我们必须举例或提供反例？

Answer 1

我有一些链接，根据这些链接，我会尝试回答你的问题，但我不是MST的专家。我认为这可以帮助你获得一些直觉，所以我发布这个。

[编辑并更正。感谢@Niklas B.指出我的错误]

1）请参阅此here。请看第（3）页上的（d）数字解决方案。它说If the lightest edge in a graph is unique, then it must be part of every MST.

因此，根据该定理，我们可以说every unique lightest edge must belong to every MST。根据问题，据说是lightest edge between any cut is unique。因此，MST中的每个边缘都必须最轻。因此，MST必须是唯一的。

2）根据@Niklas B提供的here链接，您可以看到If each edge has a distinct weight then there will be only one, unique minimum spanning tree.证据也存在。所以我认为2是真的。

3）请参阅链接here。如你所述，if the weights of e=(u, v) be equal to maximum lightest edge in all paths between u and v then e be in the MST.让我们看一个例子。

我们希望找到smallest maximum weight edge.。最简单的路径（意味着最大权重边缘最小的路径）从1到2是：1 > 3 > 4 > 2。因为最大边缘权重仅为2.但是如果我在图像上像这样切割它，你会看到最轻的边缘是4.（这是e）。显然我们不能包括这个，因为它会侵犯MST的财产。因此，3不可能是真的。

所以，我认为1和2都是真的。我希望它有意义并帮助你一点。