给定对象四元数q和基础向量vx，vy，vz形成3D空间，如何检查四元数是否与所有基向量平行或垂直？
例如，我有基础向量：
vx = (0.447410, 0, -0.894329)
vy = (0, 1, 0)
vz = (0.894329, 0, 0.447410)
和四元数
q(w,x,y,z) = (-0.973224, 0, -0.229860, 0)
我知道四元数与所有基矢量垂直或平行（或反平行），但我怎样才能实际计算它？
另一个例子，
q(w,x,y,z) = (0.823991, 0, 0.566602, 0)
这与所有基矢量不垂直或平行（或反平行）。
答案 0 :(得分：1)
关于术语的说明：严格地说，“四元数与基础向量之一垂直”并不清楚你的意思是什么......四元数和三维向量在这种方式上是不可比较的。但是，四元数可以被认为是旋转轴（三维矢量）和标量旋转角度的表示，所以我假设你想知道是否 旋转轴垂直于基矢量之一。
对于被认为是3-D旋转的单位四元数，惯例是q =（w，x，y，z）， x，y和z沿旋转轴形成3-D矢量（让我们称之为qv），w = cos（alpha / 2）表示旋转角度α。
在您的情况下，qv =（x，y，z）=（0，-0.229860,0）。 vx，vy和vz都是单位向量， 因此，如果将qv标准化为单位向量，则更容易看到发生了什么。 除以其长度（0.229860）得到qv_unit =（0，-1,0）。找到 qv_unit和vx，vy和vz之间的角度，使用点积：
对于单位向量v1 =（a，b，c）和v2 =（d，e，f）：
cos（theta）= v1 dot v2 = ad + be + cf
qv_unit dot vx = 0 * .447410 + -1 * 0 + 0 * -894329 = 0 = cos（theta），所以theta = pi / 2， 我们看到qv_unit与vx垂直。
qv_unit dot vy = 0 * 0 + -1 * 1 + 0 * 0 = -1 = cos（theta），所以theta = pi，qv_unit是 与vy反平行。
qv_unit dot vz = 0 * .894329 + -1 * 0 + 0 * .447410 = 0 = cos（theta），所以theta = pi / 2， qv_unit也垂直于vz。
答案 1 :(得分：1)
我通过将四元数转换为矩阵来解决这个问题。从矩阵中取基矢量，计算矩阵基矢量和原始基矢量之间的点积。如果它们都是0或1，则四元数与原始基矢量平行或垂直。