添加最轻的边缘而不影响图形的最小生成树？

Question

我们有一个图G，希望在每个顶点对之间添加边，尽可能轻，而不影响最小生成树。 给定最小生成树和一对顶点，如何在不影响MST的情况下计算可以在它们之间添加的最轻边的权重？

考虑添加一个比两个顶点所有的边缘都重的边缘会起作用，但在我进行的试验中它似乎是错误的。

Answer 1

生成树的边数由顶点数决定。因此，如果向MST添加边缘，则需要删除另一个边缘才能获得生成树。但是，您无法删除任何边缘。显然，删除不在两个顶点之间的路径上的边缘会断开图形。因此，您只能删除此路径上的边。如果你想找到最小的生成树，你当然会删除最重的边缘。

如果新边缘的重量大于旧路径上最重的边缘重量，则此新生成树比原始树重。因此，新边缘必须比此边缘重，以保持原始MST。

Answer 2

用我自己的话（接受答案后）重新获得并解释：

要找到u和G之间新添加的边G的最小权重（图v中的顶点），这样它就不会改善（变亮） u的最小生成树权重，请执行以下操作：

1. 在树上找到{{1}}和{{1}}之间的路径（只有一条这样的路径）。
2. 找到该路径上最重的边缘。
3. 使新添加的边缘重或重于该重量。

这不会影响树的总重量。