Question

背景

我知道Iota减少用于减少/扩展递归函数。例如，给定以下简单递归函数的应用（自然数的阶乘）：

((fix fact (n:nat):nat := match n with | O => 1 | S m => n * fact m end) 2)

Iota缩减扩展了递归调用，有效地迭代递归函数一次：

Eval lazy iota in ((fix fact (n:nat):nat := match n with | O => 1 | S m => n * fact m end) 2).
 = (fun n:nat =>
    match n with
    | 0 => 1
    | S m =>
        n *
        (fix fact (m : nat) : nat :=
           match m with
           | 0 => 1
           | S m0 => m * fact m0
           end) m
    end) 2.

此行为很好地概括了相互递归的函数。例如，给定以下相互递归的函数定义：

Fixpoint even (n:nat):Prop := match n with | O => True | S m => odd m end
  with odd (n:nat):Prop := match n with | O => False | S m => even m end.

Iota减少将分别正确地扩展到偶数或奇数的递归调用。要看到这一点，请考虑：

Theorem even_2 : even 2.
1 subgoal
==========
even 2
> lazy delta.

1 subgoal
==========
(fix even (n:nat):Prop := match n with ... end
 with odd (n:nat):Prop := match n with ... end
 for even) 2
> lazy iota.

1 subgoal
==========
(fun n:nat =>
  match n with
    | O => True
    | S m => (fix even (o:nat):Prop := match o with ... end
              with odd (o:nat):Prop := match o with ... end
              for odd) m
  end) 2

问题

这显然是正确的行为。 不幸的是，并且显然莫名其妙地，Coq不会在递归函数未应用于参数或参数被普遍量化的情况下应用Iota减少。例如，以下内容不起作用：

Theorem even_n : forall n:nat, even n.
1 subgoal
==========
forall n:nat, even n
> intro n.

1 subgoal
n : nat
==========
even n
> lazy delta.

1 subgoal
==========
(fix even (n:nat):Prop := match n with ... end
 with odd (n:nat):Prop := match n with ... end
 for even) n
> lazy iota. (* FAILS TO REDUCE! *)

1 subgoal
==========
(fix even (n:nat):Prop := match n with ... end
 with odd (n:nat):Prop := match n with ... end
 for even) n

我没有看到任何理由为什么Iota减少应该取决于周围的上下文，并尝试了多种变化，以上尝试让Coq减少Iota减少递归函数。不幸的是没有用。

如何让Coq将Iota减少应用于未应用于任何参数或应用于通用量化参数的递归函数？

任何帮助将不胜感激。谢谢， - 拉里

Answer 1

这里的问题是iota规则受限于固定点：Coq manual明确声明如果reduce参数以构造函数开头，iota只能应用于fixpoint。

这样做是为了确保归纳结构的微积分作为重写系统强烈正常化：如果我们总是可以应用iota，那么就可以扩展无限定义的函数的递归出现。

在实践中，如果您想简化这样的修复点，您可以做两件事：

手动破解递归参数（在您的情况下为n），然后减少。在某些情况下，这样做比较简单，但需要考虑很多情况。
证明简化引理并进行重写而不是减少。例如，您可以证明odd n <-> ~ even n形式的引理，在某些情况下可能会对您有所帮助。你也可以明确地证明展开是一个引理（这一次，使用你原来的even定义）：
```
Goal forall n, even n = match n with | O => False | S m => odd m end.
now destruct n.
Qed.
```

在Coq中扩展递归函数

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问题

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