Question

我想定义一个函数app_1，它将n - ary函数f : X ^^ n --> Y转换为新函数f' : (Z -> X) ^^ n --> Y，前提是有z : Z对其所有论点适用一次。例如，

Example ex1 : app_1 plus 2 S pred = 4.
trivial. Qed.

app_1 plus 2能够将一元函数S和pred作为参数，因为它首先将它们都应用于2，然后将结果应用于{{ 1}}。

这是我尝试定义的plus：

app_1

哪个不起作用，因为Coq不喜欢条款Fixpoint app_1 {X Y Z : Type} {n : nat} (f : X ^^ n --> Y) (z : Z) : (Z -> X) ^^ n --> Y := match n return ((Z -> X) ^^ n --> Y) with | O => f | S n' => fun g => app_1 (f (g z)) z end.，并说：

| O => f

但如果The term "f" has type "X ^^ n --> Y" while it is expected to have type "(Z -> X) ^^ 0 --> Y".，n = O，那么这不是类型不匹配。问题是Coq无法使用上下文信息X ^^ n --> Y = X ^^ 0 --> Y = Y = (Z -> X) ^^ 0 --> Y来确定等价性。

一些初步搜索显示这是一个众所周知的问题，但如何将这些讨论应用于此案例有点令人困惑。例如，an almost identical question on SO是使用n = O解决的，这也是我（有点）上面尝试过的，但无济于事。

有没有办法让这种模式匹配起作用？

Answer 1

像往常一样，你必须应用护航模式（参见Adam Chlipala的CPDT书）并使模式匹配返回函数：

Require Import Coq.Numbers.NaryFunctions.

Fixpoint app_1 {X Y Z : Type} {n : nat}
(f : X ^^ n --> Y) (z : Z) :
(Z -> X) ^^ n --> Y :=
match n return (X ^^ n --> Y) -> ((Z -> X) ^^ n --> Y) with
| O    => fun f => f
| S n' => fun f g => app_1 (f (g z)) z
end f.

为了使用有关f类型的信息，需要对其进行重新抽象：在每个分支中，它都具有正确的类型。

Answer 2

在n完善之后，您可以延迟获取参数：

Fixpoint app_1 {X Y Z : Type} {n : nat}
  : (X ^^ n --> Y) -> Z -> (Z -> X) ^^ n --> Y :=
  match n return (X ^^ n --> Y) -> Z -> (Z -> X) ^^ n --> Y with
    | O    => fun f _ => f
    | S n' => fun f z g => app_1 (f (g z)) z
  end.

当绑定f时，其类型已更改为X ^^ 0 --> Y，因此可以解决问题。

编辑：啊，我打算加上这个，但亚瑟打败了我！

Fixpoint app_1 {X Y Z : Type} {n : nat} (f: X ^^ n --> Y) (z: Z)
  : (Z -> X) ^^ n --> Y :=
  match n return X ^^ n --> Y -> ((Z -> X) ^^ n --> Y) with
    | O    => fun f => f
    | S n' => fun f' g => app_1 (f' (g z)) z
  end f.

在Coq模式匹配中使用上下文信息

2 个答案: