Question

我们知道点X1和X2各自有Y1和Y2点，所以我们可以用任意X计算Y：

 X - X1    Y - Y1
------- = -------
X2 - X1   Y2 - Y1

我们可以从中得到简单的公式（A）：

Y = (X - X1) * (Y2 - Y1) / (X2 - X1) + Y1;

这应该在数学上等效（B）：

Y = (X - X1) / (X2 - X1) * (Y2 - Y1) + Y1;

对于整数数学公式，只要乘法(X - X1) * (Y2 - Y1)结果保持在类型范围内，A的表现就会更好。公式B不起作用，因为如果X1 <= X <= X2，则除法总是等于0。

对于浮点数，两者都应该有效，但我认为B会提供更好的准确性，因为乘法结果会更小。

假设IEEE 754浮点表示。

注1：我对浮点情况感兴趣，整数数学非常简单。

注2：FP公式的变量可能具有非整数值，但NaN和Infs不在问题范围内。

Answer 1

为Y

解决以下问题

 X - X1    Y - Y1
------- = -------
X2 - X1   Y2 - Y1

（A）和（B）都表现出相似性：

(A)    Y = (X - offsetX) * deltaY / deltaX + offsetY;
(B)    Y = (X - offsetX) / deltaX * deltaY + offsetY;

如果点是原始整数，“B ...乘法结果将保持较小。”可能会持有，但是明智的|deltaX| |deltaY|可能都小于1，然后这个假设可能会失败。

要提高准确度，请考虑减去2个数字的效果（或添加2个符号不同的相似数字）。代码可以通过反转point1和point2的角色来选择X1,Y1或X2,Y2作为偏移量。 选择最接近X，Y的偏移量将提高准确度。

使用FP数学，*和/强调FP编号允许的指数范围：产品的精度可以在数学上正确的答案范围内，但范围可能溢出。

+和-强调精度：范围很少是一个问题，但用于形成总和的有效数字可能会有很大的取消。

如果所有坐标值最初都是整数，建议使用2x宽整数数学并得出最佳答案。

如果要对最终结果进行整数化，则保险代码使用iy = (int) round(Y);

Answer 2

假设没有发生下溢或溢出，它们在准确性方面应该大致相同：乘法和除法都会产生相同的相对误差，并且由于误差大致是乘法的，因此执行操作的顺序赢了＆＃39 ; t会有很大的不同。

如果你对所涉及的术语的相对大小有所了解，你可能可以重新排列术语，使得减法是精确的，这可能会略微减少误差。

Answer 3

通常，乘法和除法很少会导致精度的显着下降。因为这些是浮点数字，对于比例和有效数字具有单独的字段，所以获得大的中间结果本身并不是问题。 2e100/3e100和2/3（出于所有意图和目的）同样准确。

另一方面，加法或减法的结果比操作数小得多，这是导致精度损失的常见原因。

考虑到这一点，这两种形式基本相同。如果你的号码是主流的话。（即乘法不会引起上溢/下溢），那么你不会遇到任何形式的任何问题。如果你不能假设你的数字是主流，那么你必须采取各种特殊预防措施才能获得好结果。

现在，我建议在（A）和（C）之间选择，而不是考虑两种形式（A）和（B）：

Y = (X - X1) * (Y2 - Y1) / (X2 - X1) + Y1; (A)
Y = (X - X2) * (Y2 - Y1) / (X2 - X1) + Y2; (C)

并选择第一个因素X - X1或X - X2的数量较小的表单。这样，如果Y变小，则可以最大限度地减少精度损失。

例如，让我们使用

(X1,Y1) = (-100, -100)
(X2,Y2) = (0, 0)
X = 0.76

具有三位精度。然后我们得到（A）：

Y = (0.76 - -100) * (0 - -100) / (0 - -100) + -100
  = 101 * 100 / 100 - 100
  = 1

而对于（C），我们得到：

Y = (0.76 - 0) * (0 - -100) / (0 - -100) + 0
  = 0.76 * 100 / 100 + 0
  = 0.76

所以，你问题的快速答案是：