Question

我最近被问到这个面试问题：

您将获得一个几乎已排序的数组，因为每个N元素可能会被错误地放置在正确排序顺序中不超过k个位置。找到一种节省空间和时间的算法来对数组进行排序。

我有一个O(N log k)解决方案如下。

我们将arr[0..n)表示从索引0（包括）到N（不包括）的数组元素。

排序arr[0..2k)
- 现在我们知道arr[0..k)处于最终排序位置......
- ...但arr[k..2k)可能仍然错位k。
排序arr[k..3k)
- 现在我们知道arr[k..2k)处于最终排序位置......
- ...但arr[2k..3k)
排序arr[2k..4k)
....
直到你排序arr[ik..N)，然后你就完成了！
- 当您剩下少于2k个元素时，最后一步可能比其他步骤便宜

在每个步骤中，您对2k中的O(k log k)个元素进行排序，并在每个步骤结束时将至少k个元素放在最终的排序位置。有O(N/k)个步骤，因此整体复杂度为O(N log k)。

我的问题是：

O(N log k)最佳吗？这可以改进吗？
您可以在没有（部分）重新排序相同元素的情况下执行此操作吗？

Answer 1

正如Bob Sedgewick在他的论文工作（和后续工作）中所示，插入排序绝对粉碎“几乎排序的数组”。在这种情况下，你的渐近线看起来很好但是如果k < 12我打赌插入排序每次都获胜。我不知道为为什么插入排序做得很好有一个很好的解释，但是看看的地方将是Sedgewick的教科书中的一个名为算法（他已经完成了许多不同语言版本。）

我不知道O（N log k）是否是最优的，但更重要的是，我并不在乎 - 如果k很小，那么重要的是常数因子，如果k很大你也可以对数组进行排序。
插入排序会解决此问题，而无需重新排序相同的元素。

Big-O表示法对于算法类来说非常好，但在现实世界中，常量很重要。很容易忽视这一点。（我说这是教授Big-O符号的教授！）

Answer 2

如果仅使用比较模型，则O（n log k）是最佳的。考虑k = n时的情况。

要回答您的其他问题，是的，可以通过使用堆来进行排序。

使用2k元素的最小堆。首先插入2k元素，然后删除min，插入下一个元素等。

这保证了O（n log k）时间和O（k）空间，而堆通常具有足够小的隐藏常量。

Answer 3

如果k足够大，那么您的解决方案很好。在时间复杂性方面没有更好的解决方案; k个地方的每个元素可能不合适，这意味着您需要学习log2 k个信息才能正确放置，这意味着您至少需要进行log2 k次比较 - 所以它必须是至少O(N log k)的复杂性。

然而，正如其他人所指出的那样，如果k很小，那么常数术语就会杀了你。在这种情况下，使用每次操作非常快的东西，比如插入排序。

如果你真的想要达到最佳状态，你可以实现这两种方法，并根据k从一种方法切换到另一种方法。

Answer 4

已经指出，其中一个渐近最优解决方案使用最小堆，我只是想用Java提供代码：

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Answer 5

由于k显然应该非常小，因此插入排序可能是最明显且普遍接受的算法。

在随机元素的插入排序中，您必须扫描N个元素，并且必须将每个元素平均移动N / 2个位置，从而总共运算~N * N / 2个。在大O（或类似）特征中忽略“/ 2”常数，给出O（N ²）复杂度。

在您提议的情况下，预期的操作次数为~N * K / 2 - 但由于k是常量，因此整个k/2项将被忽略。 O表征，因此总体复杂度为O（N）。

对几乎排序的数组进行排序（错误放置的元素不超过k）

5 个答案: