如果pref（L）是常规的，这是否意味着L也是常规的？

Question

我有这项练习作业：

  

假设我们有一种语言L.我们知道语言pref(L)（L的所有前缀，包括L本身中的所有单词）都是常规语言。这是否意味着语言L也是常规的？

我取了pref(L)的NFA并将其（通过2个epsilon转换从q0）划分为2个单独的NFA，因为1定义了L而另一个定义了pref(L)\L

我实际得到的是L的NFA，这意味着它是常规的。

我不确定这是否合法。我很高兴再次领导。

提前致谢，

亚龙。

Answer 1

如果pref（L）是规则的，那么L不一定是正常的。

例如，让Σ= {a}为一元字母。我要声明如果L是任何无限语言而不是Σ，那么pref（L）=Σ*。要看到这一点，首先要注意pref（L）⊆Σ*因为每个pref（L）都是Σ语言。现在，考虑Σ*中的任何字符串，其必须具有 ⁿ 的形式。如果L是Σ上的无穷大语言，则它必须包含至少一个形式为 ^m 的字符串，其中m≥n。然后 ⁿ 将是 ^m 的前缀，因此 ⁿ ∈pref（L）。这表明Σ*⊆pref（L）和pref（L）⊆Σ*，所以在这种情况下Σ* = pref（L）。

现在，我们需要做的就是在Σ= {a}上找到一种非正规语言。例如，采用语言{a ^{2 n} |所有字符串的n∈N}，其长度为2的幂。可以使用Myhill-Nerode定理或泵语法证明这种语言不规则。但是，通过上述结果，我们知道pref（L）是一种常规语言。

希望这有帮助！