高斯_filter和gaussian_kde中sigma与带宽的关系

Question

如果分别适当选择每个函数中的sigma和bw_method参数，则对给定数据集应用函数scipy.ndimage.filters.gaussian_filter和scipy.stats.gaussian_kde可以得到非常相似的结果。

例如，我可以通过设置sigma=2.（左图）和gaussian_filter bw_method=sigma/30.中的gaussian_kde来获得以下点的随机2D分布（右图）：

（MWE位于问题的底部）

这些参数之间显然存在关系，因为一个应用高斯滤波器而另一个应用高斯核密度估计器。

每个参数的定义是：

• scipy.ndimage.filters.gaussian_filter，sigma：

  

sigma：标量或标量序列高斯标准偏差   核心。给出了高斯滤波器的标准偏差   每个轴作为一个序列，或作为一个数字，在这种情况下它是   所有轴都相等。

鉴于高斯算子的定义，我可以理解这一点：

• scipy.stats.gaussian_kde，bw_method：

  

bw_method：str，scalar或callable，optional用于的方法   计算估算器带宽。这可以是'scott'，'silverman'，a   标量常数或可调用。如果是标量，这将直接使用   作为kde.factor。如果是可调用的，则应该使用gaussian_kde实例   仅作为参数并返回标量。如果是None（默认），'scott'是   用过的。有关详细信息，请参阅注释。

在这种情况下，我们假设bw_method的输入是标量（浮点数），以便与sigma相比较。这是我迷路的地方，因为我无法在任何地方找到关于此kde.factor参数的信息。

我想知道的是连接这两个参数的精确数学方程（如果可能的话，当使用浮点数时：sigma和bw_method）。

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MWE：

import numpy as np
from scipy.stats import gaussian_kde
from scipy.ndimage.filters import gaussian_filter
import matplotlib.pyplot as plt

def rand_data():
    return np.random.uniform(low=1., high=200., size=(1000,))

# Generate 2D data.
x_data, y_data = rand_data(), rand_data()
xmin, xmax = min(x_data), max(x_data)
ymin, ymax = min(y_data), max(y_data)

# Define grid density.
gd = 100
# Define bandwidth
bw = 2.

# Using gaussian_filter
# Obtain 2D histogram.
rang = [[xmin, xmax], [ymin, ymax]]
binsxy = [gd, gd]
hist1, xedges, yedges = np.histogram2d(x_data, y_data, range=rang, bins=binsxy)
# Gaussian filtered histogram.
h_g = gaussian_filter(hist1, bw)

# Using gaussian_kde
values = np.vstack([x_data, y_data])
# Data 2D kernel density estimate.
kernel = gaussian_kde(values, bw_method=bw / 30.)
# Define x,y grid.
gd_c = complex(0, gd)
x, y = np.mgrid[xmin:xmax:gd_c, ymin:ymax:gd_c]
positions = np.vstack([x.ravel(), y.ravel()])
# Evaluate KDE.
z = kernel(positions)
# Re-shape for plotting
z = z.reshape(gd, gd)

# Make plots.
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2)
# Gaussian filtered 2D histograms.
ax1.imshow(h_g.transpose(), origin='lower')
ax2.imshow(z.transpose(), origin='lower')

plt.show()

Answer 1

没有任何关系因为你做了两件不同的事情。

使用scipy.ndimage.filters.gaussian_filter，您正在使用内核过滤2D变量（图像），并且该内核恰好是高斯变量。它基本上使图像平滑。

使用scipy.stats.gaussian_kde，您可以尝试估算2D变量的概率密度函数。带宽（或平滑参数）是您的集成步骤，应该与数据允许的一样小。

这两个图像看起来是一样的，因为您从中抽取样本的均匀分布与正态分布没有什么不同。显然，你可以通过正常的内核函数得到更好的估计。

您可以阅读Kernel density estimation。

修改： 在核密度估计（KDE）中，对内核进行缩放，使得带宽是平滑内核的标准偏差。 使用哪个带宽并不明显，因为它取决于数据。对于单变量数据存在最佳选择，称为Silverman的经验法则。

总而言之，高斯滤波器的标准偏差与KDE的带宽之间没有关系，因为我们正在谈论橙子和苹果。 但是，谈到KDE only ，是 KDE带宽与同一KDE内核标准差之间的关系。他们是平等的！实际上，实现细节有所不同，并且可能存在取决于内核大小的扩展。你可以阅读你的特定包gaussian_kde.py