如果节点被删除，如何在线重新计算所有对最短路径？

Question

关于地下爆炸的最新消息让我对以下问题感到好奇。假设我们有一个加权无向图，其节点有时会被删除。问题是在这种删除之后快速重新计算所有节点对之间的最短路径。

通过对Floyd-Warshall algorithm的简单修改，我们可以计算出所有对之间的最短路径。这些路径可以存储在一个表中，其中shortest[i][j]包含i和j之间最短路径上的下一个节点的索引（如果没有路径，则为NULL值）。该算法需要O（n³）时间来构建表，而每个查询shortest(i,j)需要O（1）。不幸的是，我们应该在每次删除后重新运行此算法。

另一种方法是对每个查询运行图搜索。这样每次删除都需要零时间来更新辅助结构（因为没有），但每个查询都需要O（E）时间。

当删除图表的节点时，可以使用什么算法来“平衡”查询并更新所有对最短路径问题的时间？

Answer 1

如goran所述，您只需重新计算包含同时删除的节点的最短路径。所以，我会做以下事情：

1. 使用Floyd-Warshall算法计算所有最短路径。这是O（ n ³ ）。
2. 创建一个索引，将顶点索引分配给顶点参与的最短路径列表。（换句话说，对于每个顶点 i ，它会为您提供的列表（j， k）对st i 存在于顶点 j 和 k 之间的最短路径中。这是O（ n ² d ）（其中 d 是图形直径），因为你必须在每个最短的每个顶点上循环在上一步中确定的路径，并且 n ² 这样的最短路径。
3. 删除顶点后，从步骤2中创建的索引中查找受影响的最短路径列表，然后重新计算它们。由于您不需要这里的所有最短路径，并且我假设只有少数节点受到影响，因此您可能最好使用多个广度优先搜索，即O（ m + n ）其中 m 是边数。

Answer 2

好吧，如果删除一个节点，我认为你不需要重新运行整个构建。仅适用于那些包含节点的路径。

解决您的问题的简单方法是添加有关冗余路径的信息，例如，您可以为最短路径上的每个节点设置第二条最短路径。 这不会减少计算时间，但会缓存它（它还会将存储要求提高n倍，其中n是节点的平均数量，对于单个节点的移除，对于2节点的因子为n *（n-1）冗余...以及n！因子用于完全冗余，并且还通过相同因子增加初始构建时间，并且还增加了添加节点所需的时间）

如果有办法改善这一点并缩短重建时间，那么你需要找到一个允许快速计算最短距离的结构，但是当删除或添加节点时，该结构应该是不可变的（或重新计算的便宜）到图表。

Answer 3

我将回答问题的隐含非泛型变体，其中图表是道路网络。在我看来，任意图形的理论界限不那么有趣的情况之一。

最短路径查找的一些最佳方法是公路节点路由和传输节点路由。 （在dissertation by Dominik Schultes中描述）。加速结构可以合理快速地构建（对于整个欧洲的HNR约15分钟）并且它支持增量更新。有趣的是，随机查询的查询时间约为1毫秒，所有对距离表的计算结果可低至每条目0.2us。更有趣的是查询性能缩放，数据表明缩放在图形大小中是亚对数/接近常数。在4.3us随机查询中，传输节点路由甚至更快。唉，我没有关于数据结构可更新性的任何信息。直观地说，增量更新不应该太难。

可以在类似于道路网络（稀疏，平面，分层）的其他图表上使用相同或类似的方法。