绘制勒让德多项式 - 为自己的方法获得不同的结果

Question

我试图绘制legendre多项式，定义为：

P0(x) = 1
P1(x) = x
Pn+1(x) = ((2n+1)/(n+1)) * x * Pn(x) - (n / (n+1)) * Pn-1(x)

我已经用简单的方式完成了它，而且我已经完成了直接，更复杂的方式。两者都会产生类似的数字，但并不完全相同。振幅是不同的。这是带有尊重图的代码（请注意，我将定义的下标n + 1调整为n）：

xi = linspace(-1,1,500);
n = 10;

方法1：

Pn = cell(n+1,1);
Pn{1} = @ (x) 1;
Pn{2} = @ (x) x;
for i=3:(n+1)
    Pn{i} = @ (x) ((2*(i-1)+1)/(i)).*x.*Pn{i-1}(x) - ((i-1)/i) .* Pn{i-2}(x);
end
plot(xi,Pn{1}(xi),'--r',xi,Pn{2}(xi),'--g',xi,Pn{3}(xi),'--b',...
    xi,Pn{4}(xi),'--m',xi,Pn{5}(xi),'--c',xi,Pn{6}(xi),'--k');
legend('P0','P1','P2','P3','P4','P5');

图1：

方法2：

%Notice here that the results of Pj get stored into YI(j+1)
YI = zeros(length(xi),6);
YI(:,1) = ones(size(xi))';
YI(:,2) = xi';
for i=3:6;
    Pn1 = 1;
    Pn2 = xi;
    for j=2:(i-1) 
        Pn3 = ((2*(j-1)+1)/j) .* xi .* Pn2 - ((j-1) / j) .* Pn1;
        Pn1 = Pn2;
        Pn2 = Pn3;
    end
    YI(:,i) = Pn3';
end
figure('Name','direct method');
plot(xi,YI(:,1)','--r',xi, YI(:,2)', '--g', xi, YI(:,3)', '--b', ...
    xi,YI(:,4)','--m', xi,YI(:,5)', '--c', xi,YI(:,6)', '--k');

图2：

至少可以说，这很奇怪。对于方法1，我计算所有多项式直到P11，但仅使用前6个绘图。有人知道发生了什么吗？

Answer 1

方法＃2可以简单得多：

X = linspace(-1,1,500); X = X(:);
N = 10;

Y = zeros(numel(X),N);
Y(:,1) = 1;
Y(:,2) = X;
for n=1:(N-1)
    Y(:,n+2) = ((2*n+1) .* X .* Y(:,n+1) - n .* Y(:,n)) / (n+1);
end

figure, plot(X, Y(:,1:6))
legend(num2str((1:6)'-1,'P_%d(x)'))
xlabel('x'), ylabel('P_n(x)'), title('Legendre Polynomials')

这相当于the plot shown上的Wikipedia page。

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编辑：

我在数组索引中有一个错误的错误; MATLAB使用基于1的索引，但公式以基于0的方式定义。它现在已修复，对不起造成混淆;）

要确认P(n=2,x=0)应为-1/2：

>> interp1(X, Y(:,3), 0)
ans =
   -0.5000