假设处理器只有＆＃39; fadd＆＃39;和＆＃39; fmul＆＃39;符合IEEE-754标准的操作（不是＆＃39; dot＆＃39;或＆＃39; fma＆＃39;指令）。点产品操作的简单实现将实现最差的精度。例如，对于长度为3的向量：
dot(vec_a, vec_b) = vec_a.x*vec_b.x + vec_a.y*vec_b.y + vec_a.z*vec_b.z
这是我的分析，但我不确定它是否正确： 对于长度为N的向量，存在N次乘法和N-1次加法，导致2N-1个浮点运算。在最坏的情况下，对于每个操作，表示对于准确的结果来说太小，因此中间结果将被舍入。每次舍入都会增加0.5 ULP误差。所以最大误差是（2N-1）* 0.5 = N-1/2 ULP？
答案 0 :(得分：4)
您的推理不适用于添加：如果a和b已经不准确，每个0.5 ULP且a接近-b，则相对准确度为a + b可以是terrible，比1.5 ULP差得多。事实上，如果没有关于向量计算点积的更多信息，就无法保证结果的相对准确性。
当只有乘法时，你的推理线是可以的，但它忽略了复合错误。
考虑以下等式：（a + e a ）（b + e b ）= ab + ae b + be a + e a e b 。
如果你假设a和b都在1和2之间，那么两个结果相乘后的总相对误差已经精确到0.5 ULP，每个只能粗略地估计为1 ULP，并且仍然忽略了误差项e a e b 以及乘法本身的误差。使浮点乘法的结果大约为1.5 ULP总相对误差，这只是一个粗略的平均值，而不是声音最大值。
这些colleagues of mine已经形式化并证明了双精度浮点数积的准确性概念。将结果翻译成英语的是，如果每个向量分量都以1.0为界，那么点积的最终结果精确到NMAX * B，其中NMAX是向量的维数，B是a恒定取决于NMAX。链接页面上提供了一些值：
NMAX 10 100 1000 B 0x1.1p-50 0x1.02p-47 0x1.004p-44
在他们的结果中，您可以用1.0替换任何 2的 P的功率，以确保没有溢出，然后点积的绝对误差变为NMAX * B * P 2 。循环不变量分别变为：
@ loop invariant \abs(exact_scalar_product(x,y,i)) <= i * P * P;
@ loop invariant \abs(p - exact_scalar_product(x,y,i)) <= i * B * P * P;
答案 1 :(得分：4)
与许多FP误差分析一样，误差很大程度上取决于输入的最大幅度。在这种情况下，粗略和准备好的错误界限是2 * FLT_EPS * dot(abs(vec_a), abs(vec_b))，其中abs表示向量的元素方向绝对值。