我试图优化使用内点法解决大型稀疏非线性系统的一段代码。在更新步骤中,这涉及计算Hessian矩阵H
,渐变g
,然后求解d
中的H * d = -g
以获得新的搜索方向。
Hessian矩阵具有对称的三对角结构形式:
A.T * diag(b)* A + C
我对所讨论的特定功能运行line_profiler
:
Line # Hits Time Per Hit % Time Line Contents
==================================================
386 def _direction(n, res, M, Hsig, scale_var, grad_lnprior, z, fac):
387
388 # gradient
389 44 1241715 28220.8 3.7 g = 2 * scale_var * res - grad_lnprior + z * np.dot(M.T, 1. / n)
390
391 # hessian
392 44 3103117 70525.4 9.3 N = sparse.diags(1. / n ** 2, 0, format=FMT, dtype=DTYPE)
393 44 18814307 427597.9 56.2 H = - Hsig - z * np.dot(M.T, np.dot(N, M)) # slow!
394
395 # update direction
396 44 10329556 234762.6 30.8 d, fac = my_solver(H, -g, fac)
397
398 44 111 2.5 0.0 return d, fac
从输出结果可以清楚地看出,构建H
是迄今为止成本最高的一步 - 它比实际解决新方向需要更长的时间。
Hsig
和M
都是CSC稀疏矩阵,n
是密集向量,z
是标量。我使用的求解器需要H
为CSC或CSR稀疏矩阵。
这是一个产生一些玩具数据的功能,其格式,尺寸和稀疏程度与我的真实矩阵相同:
import numpy as np
from scipy import sparse
def make_toy_data(nt=200000, nc=10):
d0 = np.random.randn(nc * (nt - 1))
d1 = np.random.randn(nc * (nt - 1))
M = sparse.diags((d0, d1), (0, nc), shape=(nc * (nt - 1), nc * nt),
format='csc', dtype=np.float64)
d0 = np.random.randn(nc * nt)
Hsig = sparse.diags(d0, 0, shape=(nc * nt, nc * nt), format='csc',
dtype=np.float64)
n = np.random.randn(nc * (nt - 1))
z = np.random.randn()
return Hsig, M, n, z
这是我构建H
的原始方法:
def original(Hsig, M, n, z):
N = sparse.diags(1. / n ** 2, 0, format='csc')
H = - Hsig - z * np.dot(M.T, np.dot(N, M)) # slow!
return H
定时:
%timeit original(Hsig, M, n, z)
# 1 loops, best of 3: 483 ms per loop
有没有更快的方法来构建这个矩阵?
答案 0 :(得分:3)
在计算三个对角阵列中的产品M.T * D * M
时,我接近4倍的加速。如果d0
和d1
是M
的主对角线和上对角线,而d
是D
的主对角线,则以下代码会创建{{1}直接:
M.T * D * M
如果您的矩阵def make_tridi_bis(d0, d1, d, nc=10):
d00 = d0*d0*d
d11 = d1*d1*d
d01 = d0*d1*d
len_ = d0.size
data = np.empty((3*len_ + nc,))
indices = np.empty((3*len_ + nc,), dtype=np.int)
# Fill main diagonal
data[:2*nc:2] = d00[:nc]
indices[:2*nc:2] = np.arange(nc)
data[2*nc+1:-2*nc:3] = d00[nc:] + d11[:-nc]
indices[2*nc+1:-2*nc:3] = np.arange(nc, len_)
data[-2*nc+1::2] = d11[-nc:]
indices[-2*nc+1::2] = np.arange(len_, len_ + nc)
# Fill top diagonal
data[1:2*nc:2] = d01[:nc]
indices[1:2*nc:2] = np.arange(nc, 2*nc)
data[2*nc+2:-2*nc:3] = d01[nc:]
indices[2*nc+2:-2*nc:3] = np.arange(2*nc, len_+nc)
# Fill bottom diagonal
data[2*nc:-2*nc:3] = d01[:-nc]
indices[2*nc:-2*nc:3] = np.arange(len_ - nc)
data[-2*nc::2] = d01[-nc:]
indices[-2*nc::2] = np.arange(len_ - nc ,len_)
indptr = np.empty((len_ + nc + 1,), dtype=np.int)
indptr[0] = 0
indptr[1:nc+1] = 2
indptr[nc+1:len_+1] = 3
indptr[-nc:] = 2
np.cumsum(indptr, out=indptr)
return sparse.csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(len_+nc, len_+nc))
采用CSR格式,则可以将M
和d0
提取为d1
和d0 = M.data[::2]
,我修改了玩具数据制作程序返回那些数组,这就是我得到的:
d1 = M.data[1::2]
上述代码的全部目的是利用非零条目的结构。如果你绘制一个矩阵的图表,你可以相互容易地说服自己产生的三对角矩阵的主(In [90]: np.allclose((M.T * sparse.diags(d, 0) * M).A, make_tridi_bis(d0, d1, d).A)
Out[90]: True
In [92]: %timeit make_tridi_bis(d0, d1, d)
10 loops, best of 3: 124 ms per loop
In [93]: %timeit M.T * sparse.diags(d, 0) * M
1 loops, best of 3: 501 ms per loop
)和顶部和底部(d_0
)对角线是:
d_1
该函数中的其余代码只是直接构建三对角矩阵,因为使用上述数据调用d_0 = np.zeros((len_ + nc,))
d_0[:len_] = d00
d_0[-len_:] += d11
d_1 = d01
要慢几倍。
答案 1 :(得分:0)
我尝试运行您的测试用例并遇到np.dot(N, M)
问题。我没有深入研究它,但我认为我的numpy /稀疏组合(两者都很新)在稀疏数组上使用np.dot
时遇到了问题。
但是H = -Hsig - z*M.T.dot(N.dot(M))
运行得很好。这使用sparse dot
。
我没有运行个人资料,但这里有几个部分的Ipython计时。生成数据所需的时间比完成双点的时间要长。
In [37]: timeit Hsig,M,n,z=make_toy_data()
1 loops, best of 3: 2 s per loop
In [38]: timeit N = sparse.diags(1. / n ** 2, 0, format='csc')
1 loops, best of 3: 377 ms per loop
In [39]: timeit H = -Hsig - z*M.T.dot(N.dot(M))
1 loops, best of 3: 1.55 s per loop
H
是
<2000000x2000000 sparse matrix of type '<type 'numpy.float64'>'
with 5999980 stored elements in Compressed Sparse Column format>