如果有人能帮我找到一种有效的方法（可能是低内存算法）来解决以下问题，我将不胜感激。
我需要找到转换矩阵x的固定分布P。转移矩阵是一个非常大的极稀疏矩阵，其构造使得所有列总和为1.由于静态分布由等式Px = x给出，因此x只是{{1}的特征向量。 1}}与特征值1相关联。
我目前正在使用GNU Octave生成转换矩阵，找到静态分布，并绘制结果。我正在使用函数P来计算特征值和特征向量，并且可以只返回一个特征向量，其中特征值为1（实际上我必须指定1.1，以防止出错）。转换矩阵的构造（使用稀疏矩阵）相当快，但随着我增加大小，找到特征向量变得越来越慢，并且在我检查甚至中等大小的问题之前我的内存已经用完了。
我目前的代码是
eigs()鉴于我知道1是特征值，我想知道是否有更好的方法来计算特征向量，或者是一种使更有效地使用内存的方法，因为我不需要中间的大密集矩阵。我天真地试过
[v l] = eigs(P, 1, 1.01);
x = v / sum(v);
失败，因为Q是单数（根据定义）。
如果有人对我如何处理这个问题有任何想法，我将非常感激，因为这是我必须执行很多次的计算，并且如果可能的话我想尝试更大更复杂的模型
作为这个问题的背景，我正在解决随机SIR模型中牛群中感染数量的均衡分布。不幸的是，即使是中等规模的畜群，过渡矩阵也非常大。例如：在平均20个人的SIR模型中（95％的人口在12到28个人之间），n = size(P,1); % number of states
Q = P - speye(n,n);
x = Q\zeros(n,1); % solve (P-I)x = 0
是21169乘21169，其中20340非零值（即0.0005％密集）并且耗尽321 Kb（该大小的完整矩阵将是3.3 Gb），而对于大约50个人P使用3 Mb。 P本身应该很小。我怀疑x在某个地方有一个密集的矩阵，这导致我的内存不足，所以如果我可以避免使用完整的矩阵，我应该没问题。
答案 0 :(得分：2)
功率迭代是找到矩阵的主要特征值的标准方法。你选择一个随机向量v，然后反复用P点击它，直到你看到它变化很大。您希望定期将v除以sqrt(v^T v)以对其进行标准化。
此处的收敛速度与最大特征值和第二大特征值之间的间隔成比例。每次迭代只需几次矩阵乘法。
有很多方法可以做到这一点（＆＃34; PageRank＆＃34;在这里搜索是一件好事）可以提高真正巨大的稀疏矩阵的速度，但我不知道他们＆＃ 39;在这里必要或有用。
答案 1 :(得分：1)
你的方法似乎很好。但是，你所谓的x是Q的零空间。如果null（Q）支持稀疏矩阵，它将起作用，但事实并非如此。网上有很多东西可以找到稀疏矩阵的零空间。例如：
http://www.mathworks.co.uk/matlabcentral/newsreader/view_thread/249467
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/11120-null-space-of-a-sparse-matrix
答案 2 :(得分：1)
似乎最好的解决方案是按照tmyklebu的建议使用功率迭代方法。
该方法是迭代x = Px; x /= sum(x)，直到x收敛。如果连续迭代之间的d1范数小于1e-5，我假设收敛，因为这似乎给出了良好的结果。
收敛可能需要一段时间，因为最大的两个特征值相当接近（收敛所需的迭代次数可能会有很大差异，从大约200到2000，取决于所使用的模型和种群大小，但最终到达那里）。但是，内存要求很低，而且很容易实现。