Question

当30 ^ 74除以57时的余数是多少？

我通常知道要解决这个问题，你会使用Fermat的Little Theorem，但在这种情况下，57不是素数，所以我不确定如何处理这个问题。有什么想法吗？

Answer 1

30 ^ 74 mod 57 =（3 ^ 74 * 10 ^ 74）mod 3 * 19 = 3 * [（3 ^ 73 * 10 ^ 74）mod 19]

和

（3 ^ 73 * 10 ^ 74）mod 19 =（3 ^（18 * 4）* 3 * 10 ^（18 * 4）* 10 ^ 2）mod 19

现在，通过Fermst的小定理（m ^（p-1）mod p = 1）：

（3 ^ 73 * 10 ^ 74）mod 19 =（3 * 10 ^ 2）mod 19 = 300 mod 19 = 15

因此

30 ^ 74 mod 57 = 3 * 15 = 45

用于获得余数的模幂运算方法的基本实现是：

long modular_pow( long base, long exponent, long modulus) {
    long c = 1;
    for ( long e_prim = 0; e_prim < exponent; ++e_prim) {
        c = (c * base) % modulus;
    }
    return c;
}

然而@Vikram Bhat所显示的实施效率更高。

Answer 2

使用模幂运算： -

modexp(a,pow) = (a*modexp(a,pow-1))%p

更快的模幂运算： -

public static long modexp(long a,long pow,long p) {

       if(pow==0) {
           return(1);
       }   

       long t = modexp(a,pow/2,p);
       t = (t*t)%p;

       if(pow%2==1) {
           t = (t*a)%p;
       }

       return(t);

    }

致电： - modexp(30,74,57)

时间复杂度： O(log(pow))

分割大数时的余数

2 个答案: