计算Voronoi单元的边界长度

Question

计算Voronoi单元边界的最有效算法是什么？ 更具体地说，我们有一个点列表（在2维中简化问题）：P1，P2，P3 .. Pn 现在，如果我想找到一个随机点的Voronoi单元边界的长度，比如Pi，它与另一个相邻点Pj共享，那么有一个有效的算法吗？

谢谢！

Answer 1

我现在有一个解决这个问题的方法，但我不确定它是否足够有效。让我重新定义问题。

问题：我们的点列表是{P1，P2，P3 ,. 。 .Pk，X}和我们的查询点是X;即我们感兴趣的是找到在Pi的Voronoi单元和X的Voronoi单元之间共享的facet的超体积（在2维中共享边的长度）。

解决方案：

1. 我们找到一组点CC = {T1，T2，T3，... 。 .Tk-1}是点{Pi，X，Pj}的圆周，其中j＆lt;＆gt; i＆lt; = j＆lt; = k。这可以在O（k）

中完成

2. 从集合CC中，我们可以删除不在X的Voronoi单元格内的点。这可以在O（k ^ 2）中完成，而无需计算任何Voronoi图。

3. 集合CC中剩下的其余点将完全定义在Pi的Voronoi单元和X的Voronoi单元之间共享的边界面。在二维中，我们将只留下两个点（结束集合CC中的共享边的点），我们可以从中轻松找到长度。

4. 现在，由于我们定义了边界面，我们可以在多项式时间内轻松找到这个面的近似体积。