如果已知边数，则创建最小生成树的时间复杂度

Question

假设连通图的边数已知并且每条边的权重不同，是否可以在线性时间内创建最小生成树？

要做到这一点，我们必须看看每一条边;并且在此循环期间可以不包含搜索，否则将导致至少n log n时间。如果不在循环中搜索，我不知道该怎么做。这意味着，不知何故，我们必须只查看每个边缘一次，并决定是否基于一些不涉及不断增长的数据结构的“静态”先前值来包含它。

那么..假设我们保留节点的端点，然后查看下一个节点，如果下一个节点具有与prev相同的顶点，则比较prev和当前节点的权重并保持较低的节点。如果当前节点的端点不等于prev，那么它位于不同的组件中...现在我被卡住了，因为我们无法创建一个哈希或数组来跟踪已经添加的组件节点，同时查看线性中的每个边缘时间。

我想到的另一种方法是找到最小重量的边缘;由于边缘权重不同，因此该边缘将是任何MST的一部分。然后..我被卡住了。因为我们不能在线性时间内对n - 1个边缘这样做。

任何提示？

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修改

如果我们知道节点的数量，边的数量以及每个边缘权重是否相同，该怎么办？比方说，例如，有n个节点，n + 6个边缘？

然后我们只需要找到并删除正确的7条边正确吗？

Answer 1

据我所知，通过知道图中有多少条边并且它们是不同的，无法更快地计算MST。在最坏的情况下，您必须在找到最小成本边（必须在MST中）之前查看图中的每个边，在最坏的情况下需要Ω（m）时间。因此，我声称​​任何 MST算法在最坏的情况下必须花费Ω（m）时间。

但是，如果我们在最坏的情况下已经做了Ω（m）工作，我们可以对任何MST算法执行以下预处理步骤：

1. 扫描边缘并计算出有多少。
2. 为每个边缘权重添加epsilon值以确保边缘是唯一的。

这也可以在时间Ω（m）内完成。因此，如果有一种方法可以加速MST计算，知道边数和边缘成本是不同的，我们只需对任何当前的MST算法执行此预处理步骤，以尝试获得更快的性能。因为据我所知，没有MST算法实际上是出于性能原因而尝试这样做，我怀疑没有（已知的）方法可以基于这些额外的知识获得更快的MST算法。

希望这有帮助！

Answer 2

对于最小生成树，有一种着名的随机线性时间算法，其复杂度在边数上是线性的。请参阅Karger，Klein和Tarjan的“随机线性时间算法以查找最小生成树”。

本文的关键结果是它们的“采样引理” - 如果你以概率p独立地随机选择边缘的子集并找到该子图的最小生成树，那么只有| V | / p边缘优于连接其末端的树路径中的最差边缘。

正如templatetypedef所指出的，你无法击败线性时间。所有边缘权重都是不同的是一个简化分析的常见假设;如果有的话，它会使MST算法运行得慢一些。

Answer 3

许多边缘（N）已知的事实不会以任何方式影响复杂性。 N仍然是一个有限但无界的变量，每个图形将具有不同的N.如果在N上设置上限，比如100万，则复杂度为O（100万log 100万）= O（1）。

每个边缘具有不同的权重这一事实也不会影响程序，因为它没有说明图形的结构。因此，关于当前案例的知识不能影响进一步处理，因为我们无法预测图表的结构在下一步中的样子。

Answer 4

如果边的数量接近n，例如本例中的n-6（在编辑后），我们知道我们只需要删除7条边，因为每个生成树都只有n-1条边。 Cycle Property显示周期中最昂贵的边不属于任何最小生成树（假定所有边都不同），因此应将其删除。

现在，您可以简单地应用 BFS 或 DFS 来识别周期并去除最昂贵的边缘。因此，总的来说，我们需要运行BFS 7次。这需要7*n时间，并且给我们带来O(n)的时间复杂度。同样，只有在边数接近节点数的情况下，这才成立。