生成尺寸为8x8的正定矩阵

Question

我正在尝试生成尺寸为8x8的正定矩阵(A'*A)。 其中A是1x8。

我为许多随机生成的矩阵A尝试了它但无法生成它。

octave-3.6.1.exe:166> A= (rand(1,8)+rand(1,8)*1i);
octave-3.6.1.exe:167> chol(A'*A);
error: chol: input matrix must be positive definite

任何人都可以告诉我这里出了什么问题。感谢您的帮助。

Answer 1

不可能这样做，因为没有那种形式的矩阵是肯定的。

声明：给定1xn（实数，n> 1）矩阵A，对称矩阵M = A'A不是正定的：

证明： By definition，如果x'Mx＆gt;则M为正定。 0表示所有非零x。即，iff x'A'Ax =（Ax）'Ax =（Ax）^ 2 =（A_1 x_1 + ... + A_n x_n）＆gt; 0表示所有非零x。

由于实数值A_i是linearly dependent，所以存在x_i，而不是全零，使得A_1 x_1 + ... + A_n x_n = 0.我们发现非零向量x使得x'Mx = 0，所以M不是正定的。

可以直接应用于复杂情况的不同证明是：设A是1xn（复数，n> 1）矩阵。正定性意味着可逆性，因此M = A * A必须具有满秩才能为正定。它显然具有等级1，所以它不可逆，因此不是肯定的。

Answer 2

以下是我常规创建SPD矩阵的方法

1）创建随机Symetric矩阵 2）确保所有对角线值都大于它们出现的任何行或列的总和。

通常对于（1）我使用0到1之间的随机数。然后很容易找出用于每个对角线条目的数字。

干杯，