计算2个圆圈内的总点数

Question

有2个圆圈，它们的中心是固定的，将作为输入给出。然后会有n个点，其x和y坐标作为输入。

最后，会有q个查询。对于每个查询，将给出两个圆的半径（让它们为r1和r2）。输出每个查询的第一个圆圈或第二个圆圈内的总点数。如果从点到中心的距离小于或等于圆的半径，则点位于圆内。

约束：n，q <= 10 ^ 6 r1，r2 <= 10 ^ 7并且对于每个坐标，| x |和| y | ＆lt; = 10 ^ 6

我正在寻找O（nlogn）或O（nlog ^ 2n）预处理，然后每个查询找到O（logn）算法。 每个查询的O（n）解决方案太慢了。任何想法如何破解这个？

Answer 1

O（log ² N）查询时间的解决方案。

1. 每个查询更容易计算两个圆圈之外的点数，然后从总点数中减去结果。
2. 使用笛卡尔坐标更容易。因此，X将是距离C1的距离，Y - 距离C2的距离。在这种情况下，我们只需要找到区域X > r1 && Y > r2中的点数。
3. 为每个点指定值“1”。现在我们只需要找到给定区域中的值的总和。在1D情况下，这可以用Fenwick树完成。但如果使用2D Fenwick树，则2D情况并没有太大差异。
4. 2D Fenwick树应占用太多空间（10 ¹² 值，给定约束）。但Fenwick树的2D数组非常稀疏，因此我们可以使用哈希映射来存储其值并将空间要求（和预处理时间）减少到O（N log ² N）。

Answer 2

让C1，C2成为磁盘的中心。设Pi，i = 1 ... n为点。设Qj，j = 1 ... q，为第j个查询，Qj =（qj1，qj2）。

1. 对于每个点Pi，计算d（Pi，Ck），k = 1或2.将其放入有序多图中：Mk（d（Pi，Ck））包含Pi。这可以在O（nlogn）中完成（这实际上就像排序距离列表一样）。
2. 对于每个查询Qj，在Mk的键上进行qjk的二进制搜索，可以在O（logn）中完成。
3. 对于每个查询Qj，取多于或等于上面找到的键的多重映射值的并集。